Un número es un cuadrado en F_p para cada primer p

Question

Posibles Duplicados:
Probar que un número entero es el $n$ th poder

Deje $n$ ser un número natural, si $n$ es un cuadrado en $\mathbb{F}_p$ por cada prime $p$ $n$ también una plaza en $\mathbb{Z}$ ?

Gracias

Answer 1

Sí. Considere la posibilidad de extender $\mathbb{Q}(\sqrt{n})/\mathbb{Q}.$ Como el polinomio $x^2 - n$ factores $\mathbb{F}_p$ por cada prime $p,$ tenemos $p$ se divide en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{n})}$ para casi todos los números primos $p$. Se sigue por la Chebotarev densidad teorema, $\mathbb{Q}(\sqrt{n}) = \mathbb{Q}.$ por lo tanto, $n$ es un cuadrado en $\mathbb{Z}.$

Tenga en cuenta que $n$ sólo necesita ser cuadrado mod $p$ para un conjunto de números primos de densidad mayor que la $1/2$ en orden a la conclusión de $n$ era un cuadrado de $\mathbb{Z}.$