Estoy confundido entre los dos. Es uno de un subconjunto de la otra o son los mismo/completamente diferentes nociones? Decir que tengo un euqaiton $u_t=\mathcal{L}u$ por un operador elíptico $\mathcal{L}$ con mala coeficientes de modo que no tienen una fuerte solución, pero no puede encontrar una solución débil. ¿Cuál es la relación de la viscosidad?
Respuestas
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La viscosidad de las soluciones fue introducido por primera vez en el contexto de la de Hamilton-Jacobi ecuación por la fuga método de la viscosidad. Sería difícil aplicar el concepto de la distribución de la solución débil en este contexto, debido a que los derivados que se producen dentro de una función no lineal. Más complicaciones que surgen debido a una distribución de la solución débil no es necesariamente única (para degenerar ecuaciones elípticas no lineal o de primer orden ecuaciones). Debido a la no linealidad, una de Hamilton-Jacobi ecuaciones a menudo no tiene una solución clásica, incluso si el Hamiltoniano es una analítica de la función.
La viscosidad de la solución que más tarde fue generalizada a degenerar ecuaciones elípticas, donde la fuga de viscosidad método ya no funciona. En caso de que la ecuación es lineal en los derivados, tanto en la distribución, soluciones débiles y la viscosidad de las soluciones se definen, y se puede investigar su relación. Mi conjetura sería que la viscosidad de las soluciones resulta ser también una débil soluciones en este contexto, pero que en general habrá también soluciones débiles que no son de la viscosidad de las soluciones.
pgassiat
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En la elíptica caso, estas dos nociones son equivalentes. La prueba (que no es trivial en absoluto) se puede encontrar en el papel
H. Ishii, "Sobre la equivalencia de las dos nociones de soluciones débiles, la viscosidad de las soluciones y las soluciones de distribución", Funkcial Ekvac. La Ser. Int. 38 (1) (1995) 101-120.(pdf)
Probablemente la misma prueba puede ser extendido para el caso parabólico (pero esto es sólo una conjetura de mi parte).
