Demostrando que $n! \leq 2*(\frac{n}2)^n$

Question

Estoy aprendiendo a demostrar varias afirmaciones y me topé con esta: $$n! \leq 2\cdot \Bigl(\frac{n}2\Bigr)^n$$

Mi pregunta es, si tengo una declaración como ésta, ¿cómo puedo encontrar la mejor manera posible de probarla? Normalmente empiezo con la inducción, ya que $n$ es un número natural arbitrario. Lo he intentado, pero entonces me encontraré inevitablemente con un término, que no puedo simplificar más. Así que si la inducción no funciona, suelo seguir adelante y tratar de encontrar desigualdades obvias que sean "conocidas" o que pueda deducir inmediatamente de los axiomas de ordenación. Pero aquí es donde la cosa se complica.

¿Algún consejo sobre cómo resolver esta desigualdad en particular y sobre cómo abordar problemas de este tipo en general? Agradezco cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Permítanos plaza de los dos lados: $$(n!)^2 \leq 4 \cdot \left( \frac{n}{2}\right)^{2n}$$

Ahora podemos reescribir el lado izquierdo como $$(n!)^2 = n \cdot (1 \cdot (n-1)) \cdot (2 \cdot (n-2)) \cdot \dots \cdot ((n-1) \cdot 1) \cdot n$$ Ahora, la aplicación de AM-GM para cada uno de los factores entre paréntesis, podemos encontrar: $$(n!)^2 = n^2 \cdot \prod_{i=1}^{n-1}(i \cdot (n-i))\leq n^2\prod_{i=1}^{n-1} \left(\frac{i + (n-i)}{2}\right)^2 = n^2\left(\frac{n}{2}\right)^{2(n-1)} = 4 \cdot \left(\frac{n}{2}\right)^{2n}$$ Ahora, toma la raíz de ambos lados y se obtiene: $$n! \leq 2 \cdot\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

Answer 2

La desigualdad es cierta para $n=1$ . Para $n>1$ tenemos $$ n! \leq 2\cdot \Bigl(\frac{n}2\Bigr)^n\iff(n-1)!\leq\left(\frac{n}{2}\right)^{n-1}\iff\prod_{i=1}^{n-1}i\leq\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}i\right)^{n-1} $$ lo cual es cierto gracias a AM-GM.

Algunas intuiciones para esta solución n: hay (i) el producto de números $1,\dots,n$ (ii) algo elevado al poder $n$ y (iii) una fórmula simple conocida para $1+\cdots+n$ . Todo esto sugiere un uso de AM-GM.

Answer 3

Por inducción.

para $n=0,1$, es cierto.

deje $n\geq1$ tal que

$$n!\leq 2.(\frac{ n}{2})^n$$

$($HR$)$.

poner $u_k=(1+\frac{1}{k})^k\;\;$$k\geq1$.

tenemos

$$\lim_{k\to+\infty}u_k=e$$

$u_1=2\;\;$, y

$(u_k)_{k\geq1} $ es por el aumento de la proporción de la prueba.

así

$$(\forall k\geq1)\;\; 2\leq(\frac{k+1}{k})^k$$

$\implies$

$$(\frac{n}{2})^n\leq \frac{(n+1)^n}{2^{n+1}}$$

$\implies$

$$ (n+1)(\frac{n}{2})^n\leq(\frac{n+1}{2})^{n+1}$$

$\implies $ $($HR$)$.

$$(n+1)!\leq 2.(\frac{n+1}{2})^{n+1}.$$

qed