Singularidades en Análisis Complejo

Question

Determine los puntos singulares de las siguientes funciones, la naturaleza de estos puntos singulares y calcule los residuos en estos puntos. $$(a)\:\dfrac{\cos z}{z^3},\qquad (b)\:\dfrac z{\sin z},\qquad(c)\:\dfrac{e^{z+10}}{z^{10}}.$$

Hola - Para $(a)$ y $(b)$, sé que las singularidades son ambas $0$, con órdenes de $3$ y $10$ respectivamente.

Sé que la singularidad de $(b)$ es $\sin(z)=o$, es decir, $n$. Pero no estoy seguro del orden de esta. ¿No sería infinito (los $n$s pueden seguir aumentando)?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Para (a) puedes considerar la serie de potencias $cos(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$. Escribe $\frac{cos(z)}{z^3}$ como una serie de potencias y $a_{-1}$ es el residuo en cero.

Para (b) todas las singularidades tienen la forma $\pi n$. Para $n=0$ la singularidad es removible (L'Hôpital). Para $n \neq 0$ considera el límite $\lim_{z \to n \pi} |\frac{z}{sin(z)}|$. Obtendrás que las singularidades son polos (¿Por qué?)

El orden de los polos es entonces el primer $k \in \mathbb N$ tal que $\lim_{z \to n \pi} \frac{z(z-n\pi)}{sin(z)}$ existe. El valor también es el residuo en $n\pi$ (¿Por qué?)

(c) funciona de manera similar