Si $\sum a_n r^n$ converge, entonces $\sum a_n x^n$ converge uniformemente en $[0,r]$

Question

Hola este problema no tengo ni idea de que puedo hacer.

Dejemos que $\sum a_n x^n$ sea una serie de potencias con radio de convergencia finito $r$ . Demostrar que si $\sum a_n r^n$ converge, entonces $\sum a_n x^n$ converge uniformemente en $[0,r]$ .

Answer 1

A partir de la convergencia de $\sum a_n x^n$ en $x = r$ se deduce que $a_n r^n \to 0$ . Así que, en particular, la secuencia está acotada, digamos por $M > 0$ Es decir $|a_n r^n| \leqslant M$ o $|a_n| \leqslant M r^{-n}$ . Ahora dejemos que $l \in [0, r)$ , entonces para cada $k$ tenemos

$$|a_k l^k| \leqslant |a_k| |l|^k \leqslant \left (\frac{|x|}{r} \right )^k$$

Por supuesto, tenemos $|z|/r < 1$ . Por lo tanto por la prueba de comparación la serie converge absolutamente, por lo tanto converge.

Ahora bien, si una serie converge uniformemente Cauchy, entonces converge uniformemente. Ahora la serie anterior converge uniformemente si para cualquier $\varepsilon > 0$ hay un número entero positivo $N$ de manera que si $N_0 \leqslant j \leqslant m$ entonces

$$\left |\sum_{k = j}^m a_n x^n \right | < \varepsilon$$

para todos $x \in [0, r)$ . Ahora

$$\left |\sum_{k = j}^m a_n x^n \right | \leq \sum_{k = j}^m |a_n| |x|^n.$$

Esto puede hacerse fácilmente más pequeño que cualquier $\varepsilon > 0$ . ¿Ves cómo?

Por lo tanto, ahora debemos ampliar el resultado a $x = r$ . Como se dice en los comentarios, Teorema de Abel permite extender la convergencia a la frontera si $r = 1$ .