Puede la prueba geométrica de "$A^{2} = A$ implica $(I - A)^{2} = (I - A)$" ser generalizada a no diagonalizable matrices?

Question

Deje $A$ ser una matriz cuadrada (es decir una verdadera matriz, pero creo que esto se aplica sobre cualquier campo). Es sencillo mostrar de forma algebraica que si $A^{2} = A$,$(I - A)^{2} = I - A$. Recientemente he encontrado una más "geométrica" de prueba para el caso especial de diagonalizable matrices:

Deje $D$ ser una matriz diagonal similar a $A$. Desde $A^{2} = A$, tenemos que los autovalores de a $A$ son 1 o 0, por lo que la diagonal entradas de $D$ son 1 o 0. Esto también se aplica para $I - D$, lo que implica que $(I - D)^{2} = I - D$. Ya que esto es similar a $I - A$,$(I - A)^{2} = I - A$.

Es allí una manera de generalizar este argumento para incluir la no diagonalizable caso? Mi conjetura es que se trata de la descomposición de valor singular, pero no estoy lo suficientemente familiarizado con que decir.

Answer 1

Un "geométrica" de la vista.

Si $A=A^2$, vamos a $U=C(A)$, la columna espacio de $A$. Supongamos que $v\in F^n$ ($F$ el campo base). Entonces $$ v=Av+(v / V)=Av+(I-A)v $$ y $v-Av\in N(A)$, el espacio nulo de a $A$, debido a $A(v-Av)=Av-A^2v=0$.

Por otra parte, si $w\in C(A)\cap N(A)$, $w=Ax$ algunos $x$ y $$ 0=Aw=A(Ax)=A^2x=Ax=w $$

Por lo tanto $F^n=C(A)\oplus N(A)$. Ahora note que $A$ es la proyección en $C(A)$ a lo largo de $N(A)$ y $I-A$ es la proyección en $N(A)$ a lo largo de $C(A)$, lo $(I-A)^2=I-A$.

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Por otro lado, si usted toma una base de $C(A)$, y una base de $N(A)$, se puede obtener una base de $F^n$ consta de los vectores propios de a $A$, por lo tanto $A$ es diagonalizable.