¿Cuál es la distribución de una variable aleatoria que es el producto de los dos normales de variables aleatorias ?

Question

¿Cuál es la distribución de una variable aleatoria que es el producto de los dos normales de variables aleatorias ?

Deje $X\sim N(\mu_1,\sigma_1), Y\sim N(\mu_2,\sigma_2)$ y $Z=XY$

Es decir, ¿cuál es su función de densidad de probabilidad, su valor esperado y su varianza ?

Estoy un poco atascado y no puedo encontrar una respuesta satisfactoria en la web. Si alguien sabe la respuesta, o una referencia o enlace, yo estaría muy agradecido...

Answer 1

Voy a suponer $X$ $Y$ son independientes. Por la escala, se asume por simplicidad que $\sigma_1 = \sigma_2 = 1$. Usted puede, a continuación, tenga en cuenta que $XY = (X+Y)^2/4 - (X-Y)^2/4$ donde $X+Y$ $X-Y$ son independientes normal de las variables aleatorias; $(X+Y)^2/2$ $(X-Y)^2/2$ han noncentral de chi-cuadrado distribuciones con $1$ grado de libertad. Si $f_1$ $f_2$ son las densidades para aquellos que, como el PDF para $XY$ es $$ f_{XY}(z) = 2 \int_0^\infty f_1(t) f_2(2z+t)\ dt$$

Answer 2

Para el caso especial de que ambas variables aleatorias Gaussianas $X$ $Y$ cero la media y la varianza la unidad, y son independientes, la respuesta es que $Z=XY$ tiene la densidad de probabilidad $p_Z(z)={\rm K}_0(|z|)/\pi$. La fuerza bruta manera de hacer esto es a través de la transformación teorema: \begin{align} p_Z(z)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty{\rm d}x\int_{-\infty}^\infty{\rm d}y\;{\rm e}^{-(x^2+y^2)/2}\delta(z-xy) \\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\infty\frac{{\rm d}x}{x}{\rm e}^{-(x^2+z^2/x^2)/2}\\ &= \frac{1}{\pi}{\rm K}_0(|z|) \ . \end{align}

Answer 3

Dadas las densidades $\varphi$ $\psi$ de dos variables aleatorias independientes, la probabilidad de que su producto es menor que $z$ es $$ \iint_{xy< z}\varphi(x)\psi(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\etiqueta{1} $$ Dejando $w=xy$, de modo que $x=w/y$ rendimientos $$ \iint_{w< z}\varphi\left(\frac{w}{s}\right)\psi(y)\,\mathrm{d}\frac{w}{s}\,\mathrm{d}y=\iint_{w< z}\varphi\left(\frac{w}{s}\right)\psi(y)\,\mathrm{d}w\,\frac{\mathrm{d}y}{y}\etiqueta{2} $$ Tomando la derivada de la $(2)$ con respecto al $z$ da la densidad del producto de las variables aleatorias a ser $$ \phi(z)=\int\varphi\left(\frac{z} de{y}\right)\psi(y)\,\frac{\mathrm{d}y} de{y}\etiqueta{3} $$ Podemos calcular el valor esperado para el uso de esta distribución $$ \begin{align} \mathrm{E}(Z) &=\int z\phi(z)\,\mathrm{d}z\\ &=\iint z\,\varphi\left(\frac{z}{y}\right)\psi(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{y}\,\mathrm{d}z\\ &=\iint xy\,\varphi(x)\psi(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\tag{4} \end{align} $$ que es exactamente lo que uno esperaría cuando se calcula el valor esperado del producto directamente.

De la misma manera, se puede también calcular $$ \begin{align} \mathrm{E}(Z^2) &=\int z^2\phi(z)\,\mathrm{d}z\\ &=\iint z^2\,\varphi\left(\frac{z}{y}\right)\psi(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{y}\,\mathrm{d}z\\ &=\iint x^2y^2\,\varphi(x)\psi(y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\tag{5} \end{align} $$ de nuevo conseguir el mismo resultado que en el cómputo de este directamente.

La varianza es entonces, como de costumbre, $\mathrm{E}(Z^2)-\mathrm{E}(Z)^2$.

Answer 4

Para el primer punto, vamos a ver cómo calcular la expectativa de un producto. La idea es bastante fácil, pero de distribución Gausiana puede mirar un poco más complicada de lo que realmente son.

En concreto, para observar la distribución de la función, me gustaría empezar por aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Product_distribution

Para la expectativa, aunque, recuerdo (o nota):

Para variables aleatorias independientes, la distribución de probabilidad conjunta de la función, $h(x,y)$ se puede encontrar simplemente como el producto de las distribuciones marginales, decir $f(x)$$g(y)$.

Que es $h(x,y)=f(x)*g(y)$. Usted encontrar la expectativa de la misma manera que sería para una sola variable con solo pmf. Es decir,

$E(XY)=E(Z)=\int\int xy*h(x,y)dydx$

=$\int\int xy (f(x)g(y)dydx)=[\int xf(x)dx][\int yg(y)dy]=E(X)E(Y)$

Para el estándar normal de vehículos recreativos, esto es simple de calcular. Si, de hecho, las variables no son independientes, entonces usted necesita para incorporar una covarianza plazo en sus cálculos.

Espero que ayude.

Answer 5

Se llama El Algebra de Variables Aleatorias por Melvin D. Spinger (Wiley, 1979) e incluye una gran cantidad de productos: http://www.amazon.com/Algebra-Variables-Probability-Mathematical-Statistics/dp/0471014060/ref=sr_1_1?s=books&ie=UTF8&qid=1340403029&sr=1-1&keywords=the+algebra+of+random+variables

En la búsqueda también encontré este libro por Galambos y Simonelli: http://www.amazon.com/s/ref=nb_sb_noss?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=product+of+random+variables