la mensurabilidad de supremum de una clase de funciones

Question

Deje $f:X\times Y \mapsto R$ ser una función medible en el espacio del producto $X\times Y$ donde $X$ $Y$ tanto son algunos de los espacios métricos. Definir $g(x) := \sup_{y\in Y} f(x,y)$.

[P.] Es $g$ medibles de la función en $X$? Si no, ¿cuál es la condición suficiente para ser medible?

Answer 1

La falta de medición de la $g$ es comúnmente conocido problema de control óptimo estocástico, por lo que esta cuestión se han estudiado ampliamente. La teoría es la más rica en el caso de $X$ $Y$ no son generales métrica espacios, pero son homeomorhpic a subconjuntos de Borel de completar separables métrica espacios. Normalmente se dice que el $X,Y$ (estándar) espacios de Borel.

Tenga en cuenta que $g$ es Borel medible en $X$ fib $\{x:g(x)>c\}$ es Borel medible para cualquier real $c$, pero $$ \{x:g(x)>c\} = \pi_X\{(x,y):f(x,y)>c\} \etiqueta{1} $$ donde $\pi_X$ es un mapa de proyección en $X$. A pesar de Lebesgue cree de manera diferente, las proyecciones de los conjuntos de Borel puede fallar a los conjuntos de Borel (descubierta por Souslin y Luzin). Como resultado, aunque el ejemplo de Nate usa $Y$ no como un espacio de Borel, podríamos construir un ejemplo similar de un Borel $Y$. Tome $A$ ser cualquier subconjunto de Borel $X\times Y$ tal que $A:=\pi_X(B)$ no es Borel, a continuación, medibles $f = 1_B$ nos da no medible $g = 1_A$.

Al mismo tiempo, la proyección de Borel subconjunto de un espacio de Borel es siempre una analítica conjunto. Estos conjuntos son, de hecho, a menudo se define como imágenes de arbitraria de conjuntos de Borel en virtud de Borel mapas. La analítica de subconjuntos de Borel espacios son universalmente medible: que es para cualquier Borel probabilidad de medida $p$$X$, cualquier analítica set $A$ $p$medible, por lo que podemos definir $p(A)$ sin ambigüedades.

Siguiendo $(1)$, digamos que $f$ es superior semianalytic siempre $\{(x,y):f(x,y)>c\}$ es analítica para todos los $c\in \Bbb R$. Entonces por $(1)$ obtenemos que $g$ es también superior semianalytic, por lo que esta clase de funciones es cerrado bajo de tomar dicha suprema. Claramente, cada Borel función es superior semianalytic, pero no viceversa - por ejemplo, $g$ a partir del segundo párrafo.

Si usted todavía está interesado sólo en la Borel medición, usted necesita cierta continuidad en suposiciones. Por ejemplo, si $f$ es menor semicontinuo, entonces también lo es $g$, y si $f$ es semicontinua superior y, a continuación, también lo es $g$ si $Y$ es compacto. Semicontinuo funciones de Borel medible, por supuesto. Creo que es posible que desee echar un vistazo a la Sección 7.5 del Control Óptimo Estocástico libro por Bertsekas y Shreve, libremente disponible en el MIT.

FWIW, esta situación está muy relacionado con el siguiente. Un mapa de $\phi:X\to Y$ entre los dos espacios de Borel es Borel medible iff su gráfica es Borel medible. Sin embargo, para algunos Borel $B\subseteq X\times Y$ no puede ser Borel $\phi$ cuya gráfica está contenida en $B$$\pi_X(B)$. Todavía no existe una universalmente medibles $\phi$ a tales bienes, incluso si $B$ sólo analítica, no necesariamente Borel. Para un Borel $\phi$ a existir, certin continuidad supuestos son necesarios, tales como la compacidad de $B$.

Answer 2

Nope. Tomemos, por ejemplo, $X = [0,1]$ $Y$ tu favorito no medible subconjunto de $[0,1]$. Deje $f(x,y) = 1$ si $x=y$ $0$ lo contrario. A continuación, $g = 1_Y$ que no es una función medible en $X$.

Answer 3

Inspirado de Nate la respuesta, la respuesta es NO, en general, y aquí es un ejemplo. Deje $X = Y = [0,1]$, e $f(x,y) = I_{\{x = y\}} I_{\{y\in M\}}$ donde $M$ es no-Lebesgue-medible conjunto y $I$ es el indicador. $f$ es Lebesgue medible desde $\{f=1\} \subset \{(x,y): x = y\}$ es la puesta a cero. Sin embargo, $g(x) = I_M(x)$, lo que hace que no se Lebesgue-medible.