El ejercicio de Matsumura acerca de Dvr

Question

Otro resultado realmente agradecería un poco de ayuda con:

Supongamos $R$ es un DVR y deje $K$ ser su campo de fracciones. Deje $L$ ser una extensión finita de $L$. Demostrar que cualquier valoración de dominio dentro de $L$ contiene $R$ debe ser también un DVR.

Este es el ejercicio 11.2 de Matsumura, el Conmutativa Anillo de la Teoría. Supongo que se utiliza el Krul-Akizuki teorema, pero yo no lo veo. Gracias!

Answer 1

Un anillo de valoración es noetherian si y sólo si es un DVR. Krull Akizuki ahora concluye.

Mi reclamo es un lugar clásico de resultado. De hecho, un DVR es noetherian. Si $A$ es un noetherian valoración anillo, vamos a $\mathfrak m$ ser su máximo ideal. Desde $A$ es noetherian, que es generado por $n$ elementos, $a_1,\ldots,a_n$. Elija el uno con un mínimo de valoración, vamos a decir que es $a_1$. A continuación,$\frac{a_i}{a_1} \in A$, es decir,$\mathfrak m = (a_1)$. Por lo tanto $\mathfrak m$ que es lo principal, y por lo $A$ es un DVR.