Es $2^{\frak{c}}$ separables?

Question

Deje $2 = \{0,1\}$ ser dotado de la topología discreta. Mi corazonada era el siguiente:

Deje $e_\mathbb{N}: \mathbb{N} \to 2^{2^{\mathbb{N}}}$ ser la "evaluación del mapa", es decir, que está dado por $$e_\mathbb{N}(n): f\in 2^\mathbb{N}\mapsto f(n).$$

Luego tuve la esperanza de que $\text{im}(e_\mathbb{N})\subseteq 2^{2^{\mathbb{N}}}$ es densa, pero me temo que si $\underline{1}\in 2^\mathbb{N}$ es la constante de $1$-secuencia, a continuación,$\pi^{-1}_{\underline{1}}(\{0\}) \cap \text{im}(e_\mathbb{N}) =\emptyset$.

Tan solo estoy misremembering algo, o es el error en otro lugar? Quizás $2^{2^{\mathbb{N}}}$ es no separable?

Answer 1

Usted necesita tomar el conjunto de todos (finito) combinaciones Booleanas de sus elementos $e_\mathbb{N}(n)\in 2^{2^{\mathbb{N}}}$ (aquí me refiero a "combinación Booleana" en el sentido habitual cuando usted piensa en los elementos de $2^{2^{\mathbb{N}}}$ como subconjuntos de a $2^{\mathbb{N}}$). Estas combinaciones Booleanas todavía forma una contables conjunto, y en realidad son densos.

De hecho, dado un subconjunto finito $S\subset 2^{\mathbb{N}}$, usted puede encontrar un subconjunto finito de $A\subset\mathbb{N}$ que distingue a todos los elementos de a $S$. Cualquier función de $2^A\to 2$ puede entonces escribirse como una combinación Booleana de las funciones asignadas por la restricción de $e_\mathbb{N}(n)$$n\in A$, y, en particular, esto significa que para cualquier función de $f:S\to 2$ hay una combinación Booleana de la $e_\mathbb{N}(n)$ que está de acuerdo con $f$$S$.

Answer 2

Para obtener una contables subconjunto denso de $2^\mathbb R,$ tome el conjunto de todas las funciones de paso con un número finito de saltos en los puntos racionales en la línea. Por un argumento similar, cualquier producto de la continuidad de muchos espacios separables es separable. (Divisibilidad del espacio del producto $Q^Q$ donde $Q=[0,1]$ es la parte (a) del ejercicio N en el Capítulo 3 de Juan L. Kelley's de Topología General, que está disponible en el Archivo de Internet.) "Continuum " muchos" es la mejor posible aquí, viendo como el máximo número posible de cardinalidad de un separable espacio de Hausdorff es $2^{2^{\aleph_0}}$.