Dejemos que $f\colon [a,b] \to \mathbb R$ ser de variación acotada. ¿Debe ser el caso que $|\int_a ^b f' (x) |\leq |TV(f)|$ , donde $TV(f)$ es la variación total de $f$ en $[a,b]$ ? Si es así, ¿cómo se puede probar esto?
En la prueba estándar del teorema de la diferenciación monótona, se demuestra que esto es válido para funciones crecientes: si $f$ es creciente, entonces $\int_a ^b f'(x) \leq f(b) - f(a) = TV(f)$ . Estoy tratando de generalizar esto a las funciones de variación acotada.
La respuesta a la pregunta planteada aquí sobre si, para una función $f$ de variación acotada en un intervalo, $$\left|\int_a^b f'(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f'(x)|\,dx \leq V(f,[a,b]) $$ es, por supuesto, sí y se puede encontrar en numerosos libros de texto. No creo que sea necesario enumerarlos. Más interesante es la generalización posterior. Si $f$ no es absolutamente continua entonces tendrías una desigualdad estricta con la variación. Pero, ¿qué explica la diferencia de los valores?
Esto fue muy bien hecho hace años por De La Vallee Poussin. Su fórmula es la siguiente $$V_f(E) = V_f(E_\infty) + \int_E |f'(x)|\,dx$$ donde $V_f$ es una medida que describe la variación total de $f$ en un conjunto $E$ y $E_\infty$ son los puntos en $E$ en el que $f'(x)=\pm\infty$ . Ver Saks Teoría de la integral En el capítulo 4, sección 9, encontrará una descripción clásica de estas ideas.
En cuanto al título de esta pregunta ( Integral de la derivada de una función de variación acotada ) Pensé que merecía la pena mencionarlo, ya que de lo contrario alguien que leyera los temas al azar no encontraría mucho más de interés aquí.
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