Introducción : Debo tomar un pequeño Desvío aquí que sólo es relevante si no conoces el libro en sí y te interesa mi trayectoria. Estoy trabajando con Análisis de Königsberg I (se puede encontrar en Springerlink). Actualmente estoy en el capítulo 11, que se centra en la integración.
Königsberger adopta el siguiente enfoque para introducir el cálculo integral:
- Define funciones de paso $\varphi: [a,b] \to \mathbb{C}$ tal que para todo $x \in (x_{k-1},x_k)$ la función de paso $\varphi$ es constante $c_k$ y luego define la integral de las funciones escalonadas: $$\int_a^b \varphi(x)dx := \sum_{k=1}^n c_k \Delta x_k $$
- Define funciones reguladas $f:I \to \mathbb{C}$ en un Intervall $I$ tal que para todo $x \in (a.b)$ el límite del lado izquierdo y el límite del lado derecho existe.
- Introduce al lector en el "teorema de aproximación
Teorema de aproximación : Una función $f$ en un Intervall compacto $[a,b]$ es una función regulada si y sólo si para todo $\epsilon > 0$ existe una función escalonada $\varphi $ tal que $|f(x)-\varphi(x)| \leq \epsilon$ para todos $x \in [a,b]$
- El corolario del teorema demuestra que para las funciones reguladas $f$ el siguiente límite siempre existe y lo define como la integral de $f$ en $[a,b]$ $$ \int_a^b f(x) dx := \lim_{n \to \infty} \int_a^b \varphi_n(x)dx $$
Mi problema : Creo que entiendo los temas anteriores y las pruebas asociadas "bastante bien". Sin embargo, en la última sección del capítulo Königsberger trata de hacer la conexión de las funciones reguladas con la Suma de Riemann con el siguiente teorema:
Teorema : Dejemos que $f: [a,b] \to \mathbb{C}$ sea una función regulada. Entonces, para todos los $\epsilon > 0$ existe un $\delta >0$ tal que para todas las particiones $Z$ de $[a,b]$ con $\max \Delta x_k \leq \delta$ y arbitraria $\xi_k \in [x_{k-1},x_k]$ se mantiene lo siguiente: $$ \left| \sum_{k=1}^n f( \xi_k) \Delta x_k - \int_a^b f(x) dx \right| \leq \epsilon $$
Me cuesta la primera parte de la prueba. (Página 216)
Prueba : Königsberger sugiere verificar primero el teorema para funciones escalonadas en lugar de funciones reguladas y luego utilizar el teorema de aproximación.
Dice que mostrarlo para las funciones de paso debe hacerse por inducción después del número de "puntos de salto" $m$ (el traductor sugiere saltus y salto de discontinuidad ) y que es muy fácil.
Sólo me importa sobre los primeros pasos de la inducción $m=0$ y $m=1$ que Königsberger califica de trivial, pues $m=1$ menciona para elegir $\delta:= \epsilon / 4 \| \varphi\|$ y mi problema es que realmente no veo cómo obtiene estas cosas. Después de esto puedo completar la prueba por mi cuenta porque él es muy minucioso a partir de ese punto.
