Un problema de factorización de secundaria

Question

$x+y+z=0$

$x^3+y^3+z^3=9$

$x^5+y^5+z^5=30$

$xy+yz+zx=?$

He resuelto este problema configurando $xy+yz+zx=k$ y utilizando la ecuación cúbica con raíces $x,y,z$ . Pero, ¿existen otros métodos?

Answer 1

Tenemos la Identidades Newton-Girard $$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3+3xyz-3(x+y+z)(xy+xz+yz)$$ y $$\begin{split}x^5+y^5+z^5=&(x+y+z)^5-5(x+y+z)^3 (xy+xz+yz)+\\5(x+y+z)&(xy+xz+yz)^2-5xyz(xy+xz+yz)+5xyz(x+y+z)^2\end{split}$$ Sustitución de todas las instancias de $x+y+z$ con $0$ tenemos las ecuaciones simultáneas

$$\begin{align*} 3xyz&=9\\ -5xyz(xy+xz+yz)&=30 \end{align*}$$

Ahora deberías ser capaz de resolver lo que necesitas.

Answer 2

He aquí una forma de avanzar, que utiliza el cubo como parte de la solución. Hay otros caminos que implican conocer algunas factorizaciones estándar.

Tenga en cuenta en primer lugar que $z=-(x+y)$ de la primera ecuación y sustituir en la segunda, obteniendo:

$$-3x^2y-3xy^2 = 9$$

Divide por 3 para obtener:

$$-xy(x+y) = xyz = 3$$

Ahora $x,y,z$ son las raíces de la ecuación cúbica $t^3+kt-3 = 0$ ,

y, por tanto, satisfacen $t^5+kt^3-3t^2=0$

Sustituir $x,y,z$ sucesivamente en esta ecuación y sumar para obtener

$$30+9k-3(x^2+y^2+z^2) = 0$$

Y utiliza $0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2k$ para terminar.