no separables implica una multitud innumerable con menor delimitada distancias?

Question

Dado un espacio de Banach la única manera que he visto para mostrar que no es separable es demostrar que no es una más de contables set $A$ y un costant $c>0$ tal que $|a_1-a_2|>c, \forall a_1 \neq a_2 \in A$(de esta manera se demuestra que $l^{\infty}$ no es separable). Mi pregunta es: ¿es cierto lo opuesto implicación? Que es

Pregunta: Dado X un no separable espacio de Banach, es cierto que no es $A$ más de contables de tal manera que no s$c>0$, de modo que $|a_1-a_2|>c, \forall a_1 \neq a_2 \in A$?

Gracias! Bye

Answer 1

Deje $X$ ser un no-seperable espacio de Banach, y $\epsilon \in (0,1)$. Construir a través de la inducción de una secuencia $(x_\alpha)_{\alpha < \omega_1}$ como sigue:

• Dado $\alpha< \omega_1$, el espacio de Banach $U_\alpha := \overline{\def\span{\mathop{\rm span}}\span \{x_\beta\mid \beta < \alpha\}}$ tiene una contables conjunto total como es, por lo tanto separables. Por lo $U_\alpha \ne X$. Por el lema de Riesz, existe un $x_\alpha \in S_X$ (la unidad de la esfera) con ${\rm dist}(x_\alpha, U_\alpha) \ge 1-\epsilon$.

A continuación, $(x_\alpha)_{\alpha < \omega_1}$ $\|x_\alpha - x_\beta\|\ge 1-\epsilon$ $\alpha \ne \beta$ y es incontable.

Answer 2

Su condición le da la posibilidad de encontrar una innumerable colección de pares distintos bloques abiertos. Usted puede obtener esta colección de manera uniforme mediante la toma de bolas de diámetro de $c / 2$. La existencia de esta colección es equivalente a la no-separabilidad en espacios métricos. Así que tu pregunta se reduce a si uno puede encontrar (en el espacio de Banach) una innumerable colección de paiwise discontinuo abrir sets, que no es uniforme como en su condición.