Schwarz y $L^2$ ambos tienen la propiedad de que la transformada de Fourier se define y bijective como una auto-mapa de estos espacios. Están relacionados en cualquier forma o es coincidencia? (es decir, doble en algún sentido, o tal vez ambas derivadas de algunos más general de la construcción).
Respuesta
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$L^2$ es donde todo comienza; de nuevo dichos espacios (incluyendo $\mathcal S$, por Schwartz con el t) puede ser construido en forma rutinaria. Deje $w$ ser localmente integrable de la función en $\mathbb R$ tal que $\inf w>0$. El espacio $$S_w=\{f: wf\in L^2 \ \text{ and } \ w\hat f\in L^2\}$$ es un subconjunto de a $L^2$ en que la transformada de Fourier $\mathcal F$ es un bijection.
Si $w\equiv 1$, $L^2$ sí. Otro ejemplo está dado por $w(x)=(1+x^2)^{p/2}$, para cualquier $p>0$.
La propiedad de ser asignada a sí mismo por $\mathcal F$ se conserva bajo la intersección de la función de los espacios. Tomando la intersección de $S_w$$w(x)=(1+x^2)^{p/2}$$p>0$, obtenemos $\mathcal S$. (Para ver que esto está de acuerdo con la definición habitual, se observa que los derivados de permanecer en esta intersección, y que la integral de la norma de un nivel suficientemente alto los controles derivados de la supremum de una función.)
Tenemos algo menor que $\mathcal S$$w=\exp{|x|}$; este espacio es todavía no trivial (contiene la función de Gauss). Tengo la sospecha de que más allá de $w=\exp(x^2)$ el espacio $S_w$ se convierte en algo trivial, pero no tienen una prueba.
