Sub-secuencias de pares y los impares términos convergente implica la secuencia converge?

Question

Dada la secuencia $$ a_{n+1} = 1 + \frac1{1+a_n} $$ where $a_1 = 1$

He llegado a la conclusión de que el extraño términos de la secuencia están aumentando, y los términos son todos decreciente. También he afirmado que la sucesión está acotada por debajo de 0, y acotada arriba por 2. Por lo tanto pares e impares subsecuencias puede decirse que es convergente por el Teorema de Convergencia Monótona.

Me doy cuenta de que si ambos pares e impares subsecuencias convergen al mismo límite L, puedo encontrar una $ N_0 $ que tiene en cuenta tanto par o impar de términos lo suficientemente cerca del límite L.

Lo que estoy atascado en la sin embargo, es encontrar una forma de mostrar que el par o impar de términos de la secuencia converge a la misma L.

Gracias por su tiempo!

Answer 1

Deje $L$ ser la solución positiva a las $L = 1+\frac{1}{1+L}$. Es realmente fácil de resolver para $L$, pero incluso sin explícitamente la solución para $L$ todavía podemos mostrar que la secuencia converge a $L$ si sabemos que $a_n\ge 0$ todos los $n$.

Para ello, observe que $$a_{n+1}-L = \left(1+\frac{1}{1+a_n}\right) - \left(1 + \frac{1}{1+L}\right) = \frac{1}{1+a_n} - \frac{1}{1+L} = \frac{L-a_n}{(1+a_n)(1+L)}$$ y por lo tanto $$|a_{n+1}-L|\le\frac{1}{1+L}\frac{1}{1+a_n}|a_n-L|\le\frac{1}{1+L}|a_n-L|$$ desde $a_n\ge 0\implies 1+a_n\ge 1$. Desde $L$ es positivo, $\frac{1}{1+L}<1$, lo $$|a_n-L|\le\left(\frac{1}{1+L}\right)^{n-1}|a_1-L|\xrightarrow{n\rightarrow\infty}0.$$

Answer 2

$$ \begin{align} & \because \space 1 \lt a_{2n-1} \lt a_{2n+1} \lt 2 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \left( a_{2n+1} - a_{2n-1} \right) = 0 \Rightarrow L_{o} = \lim_{n\rightarrow\infty} a_{2n+1} = \lim_{n\rightarrow\infty} a_{2n-1} \\ & \& \space\space\space 1 \lt a_{2n+2} \lt a_{2n \space\space\space\space\space} \lt 2 \Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty} \left( a_{2n \space\space\space\space\space} - a_{2n+2} \right) = 0 \Rightarrow L_{e} = \lim_{n\rightarrow\infty} a_{2n \space\space\space\space\space} = \lim_{n\rightarrow\infty} a_{2n+2} \\ & \\ & a_{n+1} = 1 + \frac1{1 + a_{n}} \Rightarrow (a_{n+1} - 1) (a_{n} + 1) = 1 \text{.} \quad \text{For} \space\space \color{red}{n\rightarrow\infty} \Rightarrow \\ & (a_{\small2 n+1 \normalsize} - 1) (a_{\small 2n \normalsize} + 1) = (L_{o} - 1) (L_{e} + 1) = 1 \small\space\&\space\normalsize (a_{\small 2n \normalsize} - 1) (a_{\small 2n-1 \normalsize} + 1) = (L_{e} - 1) (L_{o} + 1) = 1 \\ & \Rightarrow (L_{o} - 1) (L_{e} + 1) = (L_{e} - 1) (L_{o} + 1) \Rightarrow L_{o} - L_{e} = L_{e} - L_{o} \Rightarrow 2 L_{o} = 2 L_{e} \Rightarrow \color{red}{L_{o} = L_{e}} \\ \end{align} $$