Suma de los dígitos de los números de

Question

Tomar un número dice 987654. Suma de dígitos

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 39
3 + 9 = 12
1 + 2 = 3

es decir, seguir haciendo esto hasta obtener un solo dígito respuesta.

Ahora puedo tomar el mismo número y hacerlo de diferentes maneras, todavía terminan con la misma respuesta.

987 + 654 = 1641
16 + 4 + 1 = 21
2 + 1 = 3

O

98765 + 4 = 98769
9876 + 9 = 9885
988 + 5 = 993
99 + 3 = 102
1 + 0 + 2 = 3

¿Cómo es que siempre obtengo la misma respuesta (3 en este caso). Esto no es especial para 987654. Es para cualquier número que usted toma.

¿Cuál es la razón o de la teoría detrás de esto?

(PS - no estoy seguro de lo que es la etiqueta correcta para esta pregunta. Por favor corregir si es necesario).

Answer 1

En resumen: en el final de esta "suma de los dígitos' procedimiento, lo que está a la izquierda coincide con el resto modulo $9$. (Más precisamente, si $9|n$ $9$ será el resultado, a menos que $n=0$.)

El punto principal es $10\equiv 1 \pmod{9}$, por lo tanto $10^k\equiv 1 \pmod{9}$ todos los $k\in\Bbb N$. Así que, para cualquier número con dígitos decimales $N=\overline{a_1a_2...a_n}$ $$N=\sum_{k=1}^n 10^{n-k}\cdot a_k \equiv \sum_k a_k \pmod{9} $$ Así que, mientras tanto, el proceso, el resto de mod $9$ permanece siempre el mismo.

Answer 2

Lo que usted ha tropezado con que se conoce como la toma de la raíz digital, que también se conoce a veces como parte de "Védico de las matemáticas". Usted también podría estar interesado en leer acerca de "echa fuera a los nueves". Estas fuentes deben ayudarle a usted en la dirección correcta.