Demostrar que $P(T \le n + N \mid \mathscr F_n) > \epsilon$ donde T es un tiempo de parada

Question

Variables aleatorias dadas $Y_1, Y_2, \ldots \stackrel{iid}{\sim} P(Y_i = 1) = p = 1 - q = 1 - P(Y_i = -1)$ donde $p > q$ en un espacio de probabilidad filtrado $(\Omega, \mathscr F, \{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}, \mathbb P)$ donde $\mathscr F_n = \mathscr F_n^Y$ ,

definir $X = (X_n)_{n \ge 0}$ donde $X_n = a + \sum_{i=1}^{n} Y_i$ donde $0 < a$ .

Se puede demostrar que el proceso estocástico $M = (M_n)_{n \ge 0}$ donde $M_n = X_n - n(p-q)$ es un $(\{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}, \mathbb P)$ -martingale.

Dejemos que $b > a$ sea un número entero positivo y $T:= \inf\{n: X_n = 0 \ or \ X_n = b\}$ .

Se puede demostrar que $T$ es un $\{\mathscr F_n\}_{n \in \mathbb N}$ -tiempo de parada .

Demostrar que $\exists N \in \mathbb N, \epsilon > 0$ s.t. $\forall n \in \mathbb N$ ,

$$P(T \le n + N \mid \mathscr F_n) > \epsilon \ a.s.$$

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Lo que he probado:

Utilizando la inducción sobre n, tenemos para el caso base:

Supongamos que $P(T \le N) > \epsilon$ . Demostrar que $P(T \le N+1 | \mathscr F_1) > \epsilon$ .

Intenté considerar $P(T \le N+1 | \mathscr F_1)$ y luego, con suerte, podría usar la suposición en algún lugar:

$$P(T \le N+1 | \mathscr F_1) = E[1_{T \le N+1} | \mathscr F_1]$$

$$= E[1_{T \le N} 1_{T = N+1} | \mathscr F_1]$$

$$= E[E[1_{T \le N} 1_{T = N+1} | \mathscr F_N] | \mathscr F_1]$$

$$= E[1_{T \le N} E[ 1_{T = N+1} | \mathscr F_N] | \mathscr F_1]$$

Ahora bien, ¿qué es $E[ 1_{T = N+1} | \mathscr F_N]$ ¿Exactamente?

Bueno, hasta la hora N ya hemos golpeado $X_n = b$ o no lo hemos hecho. Si lo hemos hecho, entonces $E[ 1_{T = N+1} | \mathscr F_N] = 0$ . Por lo demás, $E[ 1_{T = N+1} | \mathscr F_N] = p1_{X_{N} = b-1}$ . Continuando:

$$= E[1_{T \le N} p1_{X_{N} = b-1} | \mathscr F_1]$$

$$= pE[1_{T \le N} 1_{X_{N} = b-1} | \mathscr F_1]$$

$$= pE[1_{T \le N-1} 1_{X_{N} = b-1} | \mathscr F_1]$$

Del mismo modo, tengo

$$= p^2 E[1_{T \le N-2} 1_{X_{N-1} = b-2} | \mathscr F_1]$$

$$= p^2 E[1_{T \le N-2} E[1_{X_{N-1} = b-2} | \mathscr F_{n-2}] | \mathscr F_1]$$

Sin embargo, no estoy seguro de que

$$E[1_{X_{N-1} = b-2} | \mathscr F_{n-2}] = p1_{X_{N-2} = b-3}$$

Creo que tenemos eso

$$E[1_{X_{N-1} = b-2} | \mathscr F_{n-2}] = p1_{X_{N-2} = b-3} + q1_{X_{N-2} = b-1}$$

¿Estoy en el camino correcto? ¿He cometido un error en alguna parte?

Answer 1

Paso 1. Definir $T_x$ por

$$ T_x = \inf\{n \geq 0 : x+Y_1+\cdots+Y_n \in \{0, b\} \}. $$

Para cualquier $x$ sabemos que $x+Y_1+\cdots+Y_n \to \infty$ casi seguramente como $n\to\infty$ . (Por ejemplo, el SLLN es suficiente para justificar esto). Así que tenemos $\Bbb{P}(T_x > N) < 1$ para cualquier tamaño suficientemente grande de $N$ . Entonces podemos elegir $N$ tal que

$$ c := \max_{0 < x < b} \Bbb{P}(T_x > N) < 1. $$

Paso 2. Afirmamos que la desigualdad se mantiene con esta $N$ y $\epsilon = 1-c$ . Para ello, escriba

\begin {align*} \Bbb {P}(T > n+N \mid \mathscr {F}_n) &= \Bbb {E}[ \mathbf {1}{{T > n+N\}} \mid \mathscr {F}_n] \\ &= \Bbb {E}[ \mathbf {1}_{{T-n > N\}} \mathbf {1}_{{T > n\}} \mid \mathscr {F}_n] \\ &= \sum_ {x : 0 < x < b } \Bbb {E}[ \mathbf {1}_{{T-n > N\}} \mathbf {1}{{T > n, X_n = x \}{} \mid \mathscr {F}_n] \end {align*}

Ahora defina $\tilde{T}_x$ por

$$ \tilde{T}_x := \inf\{k \geq 0 : x + Y_{n+1} + \cdots + Y_{n+k} \in \{0, b\}\}. $$

Entonces, dado $\{T > n, X_n = x\}$ tenemos $T-n = \tilde{T}_x$ . También está claro que $\tilde{T}_x$ es independiente de $\mathscr{F}_n$ y tiene la misma distribución que $T_x$ . Así que $\Bbb{P}$ -a.s., tenemos

\begin {align*} \Bbb {P}(T > n+N \mid \mathscr {F}_n) &= \sum_ {x : 0 < x < b } \Bbb {P}(T_x > N) \mathbf {1}{{T > n, X_n = x \}{} \\ & \leq \sum_ {x : 0 < x < b } (1- \epsilon ) \mathbf {1}{{T > n, X_n = x \}{} \\ & \leq 1- \epsilon. \end {align*}

Esto es equivalente a la desigualdad deseada.

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Observación. Si está familiarizado con la propiedad de Markov, verá que el paso 2 es un típico Propiedad de Markov argumento. En este caso, podemos acortar el paso 2 como sigue: $\Bbb{P}^a$ -casi seguro,

\begin {align*} \Bbb {P}^a(T > n+N \mid \mathscr {F}_n) &= \Bbb {E}^a[ \mathbf {1}_{{T-n > N\}} \mathbf {1}_{{T > n\}} \mid \mathscr {F}_n] \\ &= \Bbb {P}^{X_n}(T > N) \mathbf {1}_{{T > n\}} \\ & \leq 1- \epsilon. \end {align*}