Problemas para resolver $\int\frac{5x^2+3x+2}{x(x+1)^2}$

Question

Primero he transformado la integral a

$$\int\frac{5x^2+3x+2}{x(x^2+2x+1)}dx$$

Lo que me dio

$$\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+1}$$ $$=\frac{A(x^2+2x+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+2x+1)}$$ $$\frac{5x^2+3x+2}{x(x^2+2x+1)}=\frac{(A+B)x^2+(2A+C)x+A)}{x(x^2+2x+1)}$$

Así que he encontrado las variables correspondientes

$$A = 2$$ $$A+B = 5, B = 3$$ $$2A+C=3, C=-1$$

Por tanto, la integral final es

$$2\int\frac{dx}{x}+3\int\frac{xdx}{x^2+2x+1}-\int\frac{dx}{x^2+2x+1}$$ $$=2ln(x) -ln(x^2+2x+1)+\frac{3}{x+1}+3ln(x+1)$$

Sin embargo, la respuesta esperada es

$$2ln(x)+3ln(x+1)+\frac{4}{x+1}$$

¿Cuál es mi error?

Answer 1

Pista: Observe que $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ entonces

$$\frac{5x^2 + 3x + 2}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x+1)} + \frac{C}{(x+1)^2}$$

Answer 2

He encontrado tu error $$\scriptsize2\int\frac{dx}{x}+3\int\frac{xdx}{x^2+2x+1}-\int\frac{dx}{x^2+2x+1}\color{red}{\ne}2ln(x) -ln(x^2+2x+1)+\frac{3}{x+1}+3ln(x+1)$$ Pero..: $$2\int\frac{dx}{x}=2\ln|x|+c\\ 3\int\frac{xdx}{x^2+2x+1}\stackrel{t=x+1}=3\int\frac{(t-1)dt}{t^2}=3\int\left(\frac1t-\frac1{t^2}\right)dt=3\ln|x+1|+\frac3{x+1}+c\\ -\int\frac{dx}{x^2+2x+1}=\frac1{x+1}+c$$ Añádelos.

Answer 3

Puedes usar esto:

$$\frac{5 x^2+3 x+2}{x (x+1)^2}=\frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}-\frac{4}{(x+1)^2}$$

Answer 4

Puede ver que $$\frac{5x^2 + 3x+2}{x(x+1)^2} = \frac 2 x + \frac{B}{x+1} - \frac 4{(x+1)^2}$$ observando el comportamiento de los dos lados cerca de las singularidades $x = 0, x = -1.$ encontrar $B,$ poner $x = 1.$ encontrará $B = 3.$

ahora puede integrar $$ \int \frac{5x^2 + 3x+2}{x(x+1)^2} \, dx = 2 \ln x + 3 \ln(x+1) + \frac 4{x+1} + C$$