¿Es el número real cuyo dígito$n^{\rm th}$ después del punto decimal en representación decimal es el dígito inicial de$2^n$ un número racional?

Question

Estoy obsesionada con decimales representaciones (y el número de $2$). Otro problema relacionado con ellos.

Para $n\in\mathbb N^+$, definir $b_n$ como el primer dígito en la representación decimal de $2^n$.

Definir $a$ $$a=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{10^n},$$

Así que el primer par de dígitos de $a$ $$a=0.2481361\ldots$$

Es $a$ racional?

Creo que esto va a ser un verdadero reto, como la definición de $b_n$ incluye implícitamente la función del suelo y el número irracional $\log_210$. Sin embargo, yo voy a publicar esta pregunta, de todos modos a ver si alguien tiene ideas inteligentes.

La última pregunta: Es un número irracional todavía irracional cuando aplicamos algunos de asignación para su representación decimal?

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Edit: pensé que otra vez, esta realidad puede ser muy general. Si $k>1$ es un número (no tiene que ser algebraicas) que $\lg k$ es irracional, y $c_n$ es el primer dígito en la representación decimal de $k^n$. Definir $a'$ $$a'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{10^n},$$ A continuación, $a'$ es irracional. La prueba en la aceptó responder a aplicar.

Answer 1

$a$ es irracional. Si fuera racional, los dígitos iniciales de$2^n$ tendrían que repetirse, entonces (para cualquier$n$ mayor que algunos$N$) el primer dígito de$2^{n+k}$ es el mismo que el primer dígito de$2^n$, donde$k$ es la duración de la repetición. Esto requeriría que$2^k$ sea una potencia de$10$, lo cual no es. Si$2^k$ no es una potencia de$10$, hay algunos$m$, por lo que el primer dígito de$2 ^{km}$ es$2$ y$2^{n+km}$ no tendrá el mismo dígito inicial como$2^n$