Aquí está una ligera elaboración de la respuesta anterior. Nos permite ver en un sistema de $\mathcal F$ (limitado) funciones continuas en $X$ que no se desvanecen en el infinito e "incluir" estas en nuestra álgebra, lo que el espacio no nos metemos con la Gelfand isomorfismo?
Para ser más concretos, vamos a $A$ ser $C^*$ sub-álgebra de $C_b(X)$ generado por $C_0(X)$ e $\mathcal F$, lo $\sigma(A)$?
Hay dos de estas terminaciones siempre puedo escribir. El caso más simple es $\mathcal F = \{1\}$ (la constante de la función de $1$) a partir de la cual $A=C_0(X)\oplus\Bbb C\Bbb1$ sigue, la segunda ist $A=C_b(X)$. El primer caso se le dará el punto de compactification de $X$, es decir, $\sigma(C_0(X)\oplus\Bbb C\Bbb1)\cong X\cup\{\infty\}$ (esto está claro para usted o su ejercicio ilustrativo). Mientras tanto, el segundo devolverá el de Stone-Cech compactification, para ver esta nota que cualquiera limitada función de $f:X\to\Bbb C$ se extiende a una función de $\beta X\to \Bbb C$ por el universal propiedad de $\beta X$ (tenga en cuenta que $\mathrm{im}(f)$ está contenida en un conjunto compacto), además de la extensión es único por la densidad de $X$ en $\beta X$. A partir de esta $C_b(X)\subset C(\beta X)$ sigue y la otra dirección es clara.
Tanto de los espacios volvimos eran compactas, que no es una coincidencia. Tenga en cuenta que en ambos casos hemos añadido la constante de funciones, lo que resulta en la unidad de $C(X)$ que se añade a la de álgebra. Yo creo que es más o menos claro que el Gelfand isomorfismo resultados en un espacio compacto iff la original álgebra fue unital, es decir, se da una correspondencia
$$\text{unital commutative $C^*$ algebras} \leftrightarrow \text{compact locally compact Hausdorff spaces}$$
en particular, encontramos que a través de esta correspondencia otra correspondencia (para $X$ localmente compacto Hausdorff):
$$\text{unitisations of $C_0(X)$}\leftrightarrow\text{compactifications of $X$}.$$
Así que, básicamente, cuando se añaden funciones en el infinito que se compactifying $X$, siempre que añadir una cantidad suficiente de funciones, para que pueda reconstruir $1$. Vamos a considerar otro ejemplo.
Para $X=(0,1)$ puede agregar la función de $x\mapsto x$ y la función de $x\mapsto 1-x$. Si usted hace esto usted recibirá un unital álgebra y, de hecho, usted recibirá todos los polinomios, así que por Stone-Weierstrass su álgebra tendrá todas las funciones en $C([0,1])$. Puesto que usted también no tiene más funciones que el que se puede ver que la adición de estas dos funciones de resultados en la toma del cierre de $(0,1)$ en $\Bbb R$.
De hecho, si $X$ es un almacén abierto subconjunto de $\Bbb R^n$, el compactification que se obtiene teniendo en cuenta su cierre se corresponden a la unitsation que se obtiene por la adición de la $n$ coordinar las funciones de $x_i$ para el álgebra.
¿Qué pasa si usted no agrega suficientes funciones como para la recuperación de la identidad? En nuestro ejemplo, $X=(0,1)$ si sólo tenemos que añadir $x\mapsto x$ el espacio que tenemos es $(0,1]$. De hecho, esto es lo que siempre va a suceder: recibirá un subespacio abierto de un compactification de $X$.
La lección general es así: Si se añaden funciones al infinito que básicamente se está extendiendo $X$ por los puntos en el infinito.
A la dirección de su seguimiento: funciones Continuas de un no-espacio de Hausdorff en $\Bbb C$ no puede distinguir dos no separados por puntos, es decir, si $x,y$ son tales que todos los barrios de $x$ cruza todos los barrios de $y$ entonces $f(x)=f(y)$ para cualquier continua $f$. Por eso $C(X)=C(X/\sim)$ si $X$ no es Hausdorff y $\sim$ es la relación que une todos los puntos que no estén separados juntos. Así que, básicamente, funciones continuas a $\Bbb C$ no, en realidad el no-Hausdorff partes de su espacio.
Para los espacios que no son localmente compactos creo $C_0(X)$ será totalmente inadecuada. Aviso que, por ejemplo, $C_0(V)=0$ si $V$ es un infinito dimensional espacio de Banach (para mí el modelo de no localmente compacto espacios). No tengo idea de lo que el espacio asociado a $C_b(V)$ parece.
