Estoy aprendiendo Análisis Real por mí y yo quería demostrar que si un prime $p$ divide $n^2$ donde $n$ es un número entero, entonces $p$ divide $n$ sí. Vi que probar esto es lo mismo que decir que los factores primos de a$n^2$ son "el mismo" que los de $n$.
En este caso, suponga que existe un primer factor $a_q$ en $n^2$ que no está en $n$ (prueba por contradicción). Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, podemos representar a $n^2$ como $n^2= a_1 * a_2 * ... * a_x * a_q$, donde cada $a$ es el primer y $n=k_1 * k_2 * ... * k_y$ (todos los $k$ también es primo). Sabemos que $\frac{n^2}{n}=n$. Así que (por susbstituting):
$\frac{n^2}{n}= \frac{a_1*...*a_x*a_q}{k_1*...*k_y}=n \rightarrow \frac{a_1*...*a_x}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q}$
Debido a $\frac{n}{a_q}$ no es un entero (declaración inicial), existe al menos un $a_s$ en el lado izquierdo de la ecuación que no es divisible por cualquier $k$. Ahora tenemos dos factores de $n^2$ que no se dividen $n$. Podemos repetir este proceso,
$\frac{a_1*...*a_x*a_s}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q} \rightarrow \frac{a_1*...*a_x}{k_1*...*k_y}=\frac{n}{a_q*a_s}$,
para cada factor primo de $n^2$ lo que significa que no hay ningún factor de $a_i$ en $n^2$ divisible por cualquier factor de $k_j$ de $n$. Pero sabíamos que $\frac{n^2}{n}=n$, por lo tanto, tenemos una contradicción ($n^2$ no es divisible por $n$). Así que no hay ningún factor primo $p$ en $n^2$ que no divida a $n$ sí $\rightarrow$ cada factor primordial $p$ en $n^2$ también se divide $n$.
Obviamente no soy un experto en manifestaciones, así que quiero saber si esto es un argumento válido. También estoy consciente de Euclides del Lema, pero para este caso, lo ignoran.
