Mostrar que $\left( x_{n}\right) $ es una secuencia de Cauchy, donde $$ x_{n}=\frac{\sin1}{2}+\frac{\sin2}{2^{2}}+\ldots+\frac{\sin n}{2^{n}}. $$
Tratamos de evaluar $\left\vert x_{n+p}-x_{n}\right\vert $ , y para mostrar que este es arbitraria pequeño. Así \begin{align*} \left\vert a_{n+p}-a_{n}\right\vert & =\left\vert \frac{\sin\left( n+1\right) }{2^{n+1}}+\frac{\sin\left( n+2\right) }{2^{n+2}}+\ldots +\frac{\sin\left( n+p\right) }{2^{n+p}}\right\vert \\ & \leq\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+2}}+\ldots+\frac{1}{2^{n+p}}. \end{align*} Ahora, $\left( \frac{1}{2^{n+j}}\right) $ convergen todos a cero. Por lo tanto $\left\vert a_{n+p}-a_{n}\right\vert \rightarrow0$. Funciona este argumento, según la definición de la secuencia de Cauchy $$ \forall\varepsilon>0, \quad \existe n_{\varepsilon}\en \mathbb{N} , \quad \forall n\en \mathbb{N} , \quad \forall p\en \mathbb{N} :n,p\geq n_{\varepsilon}\Rightarrow\left\vert a_{n+p}-a_{n}\right\vert <\varepsilon? $$ Mi pregunta nace a partir del hecho de que para la secuencia $$ a_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}, $$ tenemos que \begin{align*} \left\vert a_{n+p}-a_{n}\right\vert & =\left\vert \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+p}\right\vert \\ & \leq\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{n+p} \end{align*} y también todas las secuencias $\left( \frac{1}{n+j}\right) _{n}$ converge a cero, pero esta vez $\left( a_{n}\right) $ no es una secuencia de Cauchy.
