Los grupos profinitos suelen caracterizarse como grupos compactos, totalmente desconectados y de Hausdorff. Sin embargo, como se ha demostrado aquí todo grupo topológico totalmente desconectado ya tiene la propiedad de Hausdorff.
Sin embargo, todos los libros de texto que he encontrado mencionan explícitamente (e incluso prueban) la propiedad Hausdorff en la caracterización. ¿Hay alguna razón para este énfasis?
Sí, es bastante curioso que todo grupo topológico totalmente desconectado sea automáticamente Hausdorff.
Hay más lugares en las matemáticas donde esta superfluidad está presente. Por ejemplo, la definición de un módulo (izquierdo) $M$ sobre un anillo $R$ con identidad $1$ . En todos los libros de texto $M$ se requiere que sea un abeliano grupo, pero está implícito en los axiomas: $r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2$ en $(r_1+r_2)m=r_1m+r_2m$ . Para estos rendimientos $(1+1)(m_1+m_2)=m_1+m_1+m_2+m_2$ y también $(1+1)(m_1+m_2)=m_1+m_2+m_1+m_2$ De ahí que $m_1+m_2=m_2+m_1$ ¡!
Así que supongo que es pereza o una cuestión de facilidad.
Para un grupo topológico equivale a ser $T_0$ , $T_1$ , $T_2$ o incluso completamente regular ( $T_{3\frac12}$ ). Así que sólo queremos excluir el caso en el que tenemos un gran subgrupo indiscreto como $\overline{\{e\}}$ aunque la condición de totalmente desconectado ya lo implica.
Es bastante habitual exigir que los espacios compactos sean también Hausdorff, y que todos los grupos topológicos tengan también axiomas de separación no triviales. Así que probablemente sea la fuerza de la costumbre.
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