Desigualdad AM-GM generalizada

Question

Yo estaba discutiendo junto a mi amigo, y yo traté de ilustrar el concepto de la media geométrica utilizando la siguiente idea:

Supongamos que tenemos dos cantidades de positivos $x,y>0$. El geométrica más simple objeto que se puede hacer fuera de los es $x \times y$ rectángulo. Lo que si queremos una regular rectángulo (es decir, un cuadrado) que "mejor se aproxima a este rectángulo"?

Una posibilidad es la de un cuadrado de lado de longitud $$\ell_1 =\frac{x+y}{2} ,$$ mantener el perímetro de la misma en $2x+2y$. Otro candidato es $$\ell_2 =\sqrt{xy} ,$$ este tiempo de mantener el área de la misma en $xy$.

Entonces me di cuenta de que puedo generalizar esta idea a dimensiones superiores: Si tenemos tres números positivos $x,y,z>0$, considere la posibilidad de una $x \times y \times z$ rectángulo, y un cubo cuyo lado $\ell$ , se decide:

• Mantener el 1-dimensional "de longitud-de-la-esqueleto" de la misma obtenemos $$4x+4y+4z=12 \ell_1 \implies \ell_1=\frac{x+y+z}{3}.$$
• Mantener la 2-dimensional área de las caras de la misma obtenemos $$2xy+2xz+2yz=6\ell_2^2 \implies \ell_2=\sqrt{\frac{xy+xz+yz}{3}}.$$
• Mantener las 3 dimensiones de volumen de la misma obtenemos $$x y z =\ell_3^3 \implies \ell_3=\sqrt[3]{x y z}.$$

Observe que entre los habituales de la aritmética y geométrica medios, un tipo diferente de la media ha aparecido.

Esta idea puede ir más allá, utilizando "$n$-orthotopes" o hyperrectangles, produciendo $n$ medios distintos de cualquier secuencia $x_1,\dots,x_n$ de positivos cantidades:

Para $1 \leq d \leq n$ deje $e_d(x_1,\dots, x_n)$ denotar la primaria simétrica polinomio en $n$ símbolos de grado $d$. Definimos $$\ell_d(x_1,\dots,x_n) := \sqrt[d]{\frac{e_d(x_1,\dots,x_n)}{\binom{n}{d}}}.$$

Tengo dos preguntas al respecto:

1. Es este concepto ya conocido?
2. Yo creo que el AM-GM desigualdad generaliza a $\ell_1 \geq \ell_2 \geq \cdots \geq \ell_n$. Es esto correcto?

Gracias!

Answer 1

Sí, esa relación entre los polinomios simétricos elementales se mantiene, se conoce como desigualdad de Maclaurin y una consecuencia de las desigualdades de Newton .