Ejemplo de gavilla en $\mathrm{Ring}$ que no proviene de $\mathrm{Sch}$ .

Question

Al final de Remarque 2.3.6 (p. 221-222) de EGA I, el autor dice que hay funtores en $\mathbf{Fais}|_{\mathbf{Ann}}$ (gavilla en la categoría de Anillos) que no son isomorfas a gavillas que provienen de esquemas. Me gustaría saber un ejemplo de este tipo o si dicho ejemplo se construye más adelante en el libro.

A continuación añado la definición y el contexto de cada concepto:

Un functor $G:\mathbf{Aff}^{op}\to\mathbf{Set}$ de la categoría opuesta de esquemas afines a la categoría de conjuntos se llama presheaf . Dado un esquema afín $X$ para cualquier subesquema abierto $U$ se puede considerar el mapa $U\mapsto G(U)$ . Decimos que $G$ es un gavilla cuando este mapa es siempre una gavilla en el sentido habitual.

Dado que existe una equivalencia de categorías $F:\mathbf{Aff}^{op}\to\mathbf{Ring}$ entre la categoría de esquemas afines y la categoría de anillos, que también define una equivalencia $\mathbf{Hom(Aff^{op},Set)}\cong\mathbf{Hom(Ring,Set)}$ . Por tanto, podemos definir una gavilla en la categoría de anillos como un functor (covariante) $\mathbf{Ring}\to\mathbf{Set}$ cuya imagen bajo la equivalencia anterior es una gavilla en el sentido definido anteriormente.

De forma similar podemos definir una gavilla en la categoría de esquemas $\mathbf{Sch}$ pero resulta que la categoría de dichas láminas es equivalente a la de láminas sobre esquemas afines. Se puede demostrar que, dado un esquema $X$ el functor $h_X:Y\mapsto\mathrm{Hom}(Y,X)$ es una gavilla en $\mathbf{Sch}$ y como $h:X\mapsto h_X$ es totalmente fiel, podemos identificar la categoría de esquemas con una subcategoría de las láminas sobre $\mathbf{Ring}$ por las equivalencias anteriores.

Answer 1

Definir $\tilde{G}(X)=\{f^2:f\in\mathrm{Hom}(X,\mathbb{A}^1)\}$ . Entonces $\tilde{G}$ es un presheaf, y tomamos $G$ para que sea la sheaffificación de $\tilde{G}$ . Concretamente, $G(X)$ es el conjunto de funciones $f:X\to\mathbb{A}^1$ tal que existe una cubierta abierta $\{U_i\}$ de $X$ y funciones $g_i:U_i\to\mathbb{A}^1$ tal que $f|_{U_i}=g_i^2$ . Afirmo que $G$ no es representable por un esquema. Para ver esto, observe que $G(\mathrm{Spec}\,\mathbb{R})=\mathbb{R}_{\geq 0}$ , $G(\mathrm{Spec}\,\mathbb{C})=\mathbb{C}$ y la acción de la conjugación compleja sobre $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$ induce una conjugación compleja en $G(\mathrm{Spec}\,\mathbb{C})=\mathbb{C}$ . Si $X$ es un esquema cualquiera, entonces $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}\,\mathbb{R},X)$ es siempre el subconjunto de $\mathrm{Hom}(\mathrm{Spec}\,\mathbb{C},X)$ de elementos fijados por conjugación compleja.

La cuestión aquí es que aunque $G$ es una gavilla para la topología de Zariski (es decir $G$ da una gavilla ordinaria en cada esquema afín), $G$ no es una gavilla para la topología etale. En general, dejemos que $G$ sea una gavilla étale arbitraria, y sea $L/K$ sea una extensión de Galois finita. Entonces $\mathrm{Spec}\,L\to\mathrm{Spec}\,K$ es un recubrimiento etéreo, por lo que debería haber un diagrama de igualación $$ G(\mathrm{Spec}\,K)\to G(\mathrm{Spec}\,L)\rightrightarrows G(\mathrm{Spec}\,L \times_{\mathrm{Spec}\, K}\mathrm{Spec}\, L)=G(\mathrm{Spec}\, L\otimes_K L). $$ Ahora $L\otimes_K L$ es un producto de copias de $L$ indexado por $\mathrm{Gal}(L/K)$ Así que $$ G(\mathrm{Spec}\,L\otimes_K L)=\prod_{g\in\mathrm{Gal}(L/K)} G(\mathrm{Spec}(L)) $$ y los dos mapas $ G(\mathrm{Spec}(L))\to\prod_{g\in\mathrm{Gal}(L/K)} G(\mathrm{Spec}(L))$ son la diagonal, y el mapa cuyo $g$ -La componente número uno es inducida por $g$ . El ecualizador en cuestión es entonces el conjunto de $\mathrm{Gal}(L/K)$ -invariantes, por lo que $G(\mathrm{Spec}\,K)= G(\mathrm{Spec}\,L)^{\mathrm{Gal}(L/K)}$ .