Ciclo límite del sistema dinámico $x'=xy^2-x-y$ , $y'=y^3+x-y$

Question

Consideremos un sistema ODE planar $z'=f(z)$ con $z=(x,y)$ , $$ f(x,y)=(xy^2-x-y,y^3+x-y). $$ Utilizando coordenadas polares, se puede obtener $$ r'=r(r^2\sin^2\theta-1),\quad \theta'=1. $$

Con Mathematica se puede obtener

Como se puede ver en la figura, existe un ciclo límite para el sistema. He intentado aplicar el Teorema de Poincaré-Bendixson para demostrar la existencia del ciclo límite utilizando alguna región anular negativamente invariante. Pero parece que no hay esperanza de encontrar dicha región. ¿Cómo debo continuar?

Answer 1

Utilizando el cambio de variables $(u,v)=(x+y,y)$ El $(x,y)$ -es equivalente al sistema diferencial $(u,v)$ -sistema diferencial $$u'=uv^2-2v,\qquad v'=v^3+u-2v$$ En particular, $$(u^2+2v^2)'=2(uu'+2vv')=2v^2(u^2+2v^2-4)$$ Esto demuestra que la elipsis $(E)$ de la ecuación $u^2+2v^2=4$ es invariante por la dinámica. En el $(x,y)$ -la ecuación de $(E)$ es $$x^2+2xy+3y^2=4.$$ A partir de cada punto del interior $(E)$ se converge a $(x_\infty,y_\infty)=(0,0)$ . A partir de cada punto fuera de $(E)$ se diverge en el sentido de que $x(t)^2+y(t)^2\to+\infty$ . Por último, a partir de cada punto de $(E)$ , uno de los ciclos en $(E)$ en sentido contrario a las agujas del reloj con el período de tiempo $$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{\sqrt2-\sin(2t)}=2\pi.$$ Para evaluar el periodo, recordemos que, para cada $a\gt1$ , $$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{a+\sin(t)}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}.$$

Editar: Algunas simulaciones de los sistemas $x'=x(y^2−c)−y$ , $y'=y(y^2−c)+x$ para algunos $c\gt0$ . El ciclo de cada uno de estos sistemas es la elipsis $(E_c)$ con la ecuación $$x^2+2cxy+(1+2c^2)y^2=2c(1+c^2).$$ Para $c=4$ : streamplot[{x(y^2-4)-y,y(y^2-4)+x},{x,-20,+20},{y,-5,+5}]

$\qquad\qquad$

Para $c=.2$ : streamplot[{x(y^2-.2)-y,y(y^2-.2)+x},{x,-2,+2},{y,-2,+2}]

$\qquad\qquad$