Demostrar o refutar si $\int_{a}^{b} f$ existe y es igual a 0

Question

Demostrar o refutar: Supongamos que $f$ está acotado en el intervalo $[a,b]$ y para cualquier $n\in\mathbb{N}$ existen particiones $P_{n}$ y $Q_{n}$ tal que $U(P_{n},f) \le \frac{1}{n}$ y $L(Q_{n},f) \ge -\frac{1}{n}$ . Entonces $\int_{a}^{b} f$ existe y es igual a $0$ .

Aquí está mi intento: $$-\frac{1}{n} \overset{(1)}{\leq} L(Q_{n},f) \overset{(2)}{\leq} \underline{\int_{a}^{b} f} \overset{(3)}{\leq} \overline{\int_{a}^{b} f} \overset{(4)}{\leq} U(P_{n},f) \overset{(5)}{\leq} \frac{1}{n}$$

Las desigualdades $(1),(5)$ se dan y $(2),(3),(4)$ se cumplen por definición de la integral inferior y la integral superior. Por el teorema de squeeze se deduce que $\underline{\int_{a}^{b} f} = \overline{\int_{a}^{b} f} = 0$ .

¿Está bien esta prueba?

Answer 1

Su prueba es completamente correcta. ¡Bien hecho!

Obsérvese también que la siguiente afirmación relacionada es verdadera:

Una función acotada $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ es Riemann-integrable si y sólo si existe una secuencia de particiones $(P_n)$ tal que

$$\lim_{n \to \infty} (U(f,P_n)-L(f,P_n)) = 0$$