1. Deje $\epsilon>0$ ; tomemos, por ejemplo, Demostrar que $1/n\to 0,$ como $n\to\infty.$
PRUEBA
Deje $\epsilon>0$ (significa que me dan un positivo y específico nuimber, decir $\epsilon$, luego me iba a demostrar a usted que$ \;\forall\; \epsilon>0$, $1/n<\epsilon$ para la gran n). Por tanto, dada cualquier $\epsilon>0$, elija $N=\left[1/\epsilon+1\right]$, entonces,
\begin{align} \dfrac{1}{n}\leq \dfrac{1}{N}<\epsilon,\;\forall\; n\geq N. \end{align}
Esto implica que para todos los $\epsilon>0$,
\begin{align} \dfrac{1}{n}<\epsilon,\;\forall\; n\geq N. \end{align}
2. Deje $n\in\Bbb{N}$ ser fijo;
Escoge un particular $n\in\Bbb{N}$ para el conjunto de la prueba que no puede ser cambiado en el transcurso de la prueba.
EJEMPLO 2
Demostrar que para delimitada real positivo secuencias de $\{a_n\}_{n\in\Bbb{N}}$
\begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align}
PRUEBA
Deje $\epsilon>0$ dado y $\beta:=\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| $, entonces existe $N$ tales que
\begin{align} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|<\beta+\epsilon,\;\;\forall\;n\geq N. \end{align}
Deje $n\geq N$ ser fijo,
\begin{align} \left|\dfrac{a_{n}}{a_N} \right|=\left|\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}} \right|\cdot \left|\dfrac{a_{n-1}}{a_{n-2}} \right|\cdots\left|\dfrac{a_{N+1}}{a_{N}} \right|<\left(\beta+\epsilon\right)^{n-N}\end{align}
Esto implica
\begin{align} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}<\sqrt[n]{\left|a_N \right|}\left(\beta+\epsilon\right)^{1-N/n}\end{align}
Tomando $\limsup$,
\begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\beta+\epsilon\end{align}
Desde $\epsilon>0$ fue arbitraria,
\begin{align} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}\leq\limsup_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \end{align}
3. De tal manera que, arbitraria
EJEMPLO 3
Demostrar que $f:X\to\overline{\Bbb{R}}$ es inferior semi-continua si
\begin{align} \forall\;\lambda\in \Bbb{R},\;\;f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right)\;\;\text{is open in}\;X. \end{align}
PRUEBA
Deje $\lambda\in \Bbb{R}$ e $x_0\in X$ ser arbitraria, de tal manera que $\lambda<f(x_0)$. Entonces, \begin{align} x_0\in f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right). \end{align} Tomar \begin{align} V=f^{-1}\left((\lambda,\infty] \right), \;\;\text{where }\;\;V\in U\left(x_0 \right).\end{align} Vamos a $x\in V$, a continuación, $f(x)\in (\lambda,\infty] ,$ lo que implica que $f(x)>\lambda.$ por lo tanto, para todos los $\lambda\in \Bbb{R}$ e $x_0\in X$ tal que $\lambda<f(x_0)$, $f(x)>\lambda,\;\forall\;x\in V.$ Esto implica que ese $f:X\to\overline{\Bbb{R}}$ es inferior semi-continuo.
4. Fijo, pero arbitrario, fijo, tal que y cuando.
EJEMPLO 4
Demostrar que $|x|$ es continua en a$\Bbb{R}$.
Deje $\epsilon>0$ ser dado, $x\in \Bbb{R}$ ser fijo, pero arbitraria y $x_0\in \Bbb{R}$ ser fija, de tal manera que $|x-x_0|<\delta,$luego
\begin{align} \left| |x|-|x_0| \right| \leq \left| x-x_0 \right|<\delta.\end{align}
Así que, dado cualquier $\epsilon>0$, elija $\delta=\epsilon,$ luego
\begin{align} \left| |x|-|x_0| \right|<\epsilon,\;\;\textbf{whenever}\;\;\left| x-x_0 \right|<\delta\end{align}
Yo elija cualquiera de los $x\in\Bbb{R}$ para la prueba, pero que será fijo durante toda la prueba.
