Operador de prueba de clase de traza$\exp(-\beta H)$

Question

Deje $H=\frac{p^2}{2}+\frac{x^2}{2}\, : D(H) \to L^2(\mathbb{R})$ ser el Hamiltoniano del oscilador armónico con $m=\hbar=\omega=1$. Demostrar que $\exp(-\beta H)$ es una huella de clase operador si $\beta>0$.

Sabemos que $A$ es una huella de clase operador si $\sqrt{|A|}$ es una de Hilbert-Schmidt operador o, equivalentemente, si $A$ es compacto y

$$\sum_{\lambda~\in \text{ sing}(A)} \lambda m_\lambda < \infty\; ,$$

donde $m_\lambda$ es la multiplicidad de $\lambda$. Sabemos que $\lambda\in \text{sing}(\exp(-\beta H))$ es de la forma

$$\exp\left(-\beta \left( n+\frac{1}{2}\right)\right)$$

con $m_\lambda=1$ e $n\in \mathbb{N}$. Así tenemos

$$\sum_{\text{sing}(\exp(-\beta H)}\lambda m_\lambda=\sum_{n=0}^{\infty} \exp\left(-\beta \left( n+\frac{1}{2}\right)\right) \leq \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\beta^2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2} <\infty.$$

Entonces sólo queda demostrar que $\exp(-\beta H)$ es compacto. He tratado de probar que

$$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!}$$

es compacto $\forall n$. En este sentido, con el hecho de que el espacio de operador compacto es un espacio de Banach, se puede concluir. No puedo averiguar cómo probar esto.

Answer 1

Observar que, a partir de la descomposición espectral de $e^{-\beta H}$ tenemos que $$e^{-\beta H} \psi - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle-\sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle= \sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\psi\rangle$$ para todos los vectores $\psi \in {\cal H}= L^2(\mathbb R,dx)$. Por lo tanto $$\left|\left|\left(e^{-\beta H} - \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right| = \left|\left|\left(\sum_{n=N+1}^\infty e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right)\psi\right|\right|\:.$$ Tomando la $\sup$ sobre el conjunto de vectores unitarios en ambos lados, también tenemos $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| = \left|\left| \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|\:,$$ pero, puesto que el $|| e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n||| = e^{-\beta (n+1/2)}|| |n\rangle \langle n|||= e^{-\beta (n+1/2)}$, también podemos $$\left|\left|e^{-\beta H}- \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \left|\left|e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|\right|\right|= \sum_{n=N+1}^{+\infty}e^{-\beta (n+1/2)} = e^{-\beta/2}\sum_{n=N+1}^{+\infty}(e^{-\beta})^n\to 0$$ si $N\to +\infty$ porque $$\sum_{n=0}^{N}(e^{-\beta})^n \to \frac{1}{1-e^{-\beta}}\quad \mbox{if $N \+\infty$}\:.$$ Por lo tanto, $e^{-\beta H}$ es el límite, con respecto al uniforme de operador de topología, de una secuencia de operadores compactos $$A_N = \sum_{n=0}^N e^{-\beta (n+1/2)}|n\rangle \langle n|$$ $A_N$ es compacto porque es de rango finito. Este es un resultado estándar en compacto de los operadores. (Ver explicación abajo).

Desde el ideal de operadores compactos es cerrado en $\mathfrak B(\cal H)$ con respecto a la topología, $e^{-\beta H}$ es compacto así.

La compacidad de finito de clasificación de los operadores. La compacidad de un operador $T$, significa que transforma a la unidad de la bola en un conjunto cuyo cierre es compacto. Si $Ran(T)$ tiene dimensión finita, la unidad de la bola de $B$ es enviado a un conjunto acotado ($||T(B)|| \leq ||T|| 1$) en un subespacio cerrado que puede ser identificado a $\mathbb C^{\dim(Ran(T))}$. Desde cerrado acotado establece en $\mathbb C^n$ son compactos, $\overline{T(B)}$ es compacto en ese espacio. El resumen de las propiedades de compacidad (un conjunto es compacto en un espacio topológico si y sólo si a es compacto, en una sub-topológica del espacio que lo contiene) implica que $\overline{T(B)}$ es también compacto en todo el espacio de Hilbert.

OBSERVACIÓN. Hago hincapié en que $$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!} \not \to e^{-\beta H}\quad \mbox{for $n \+\infty$}$$ si el límite se refiere a la topología uniforme. El límite es cierto sólo en el fuerte del operador de la topología, al restringir el dominio de ambos lados para el espacio de vectores $|n\rangle$,pero no es suficiente para concluir. En particular, los operadores de $$\sum_{k=0}^n \frac{(-\beta H)^k}{k!}$$ no compacto, ya que no están aún limitada! Así que tu idea no funciona tal y como está, pero tiene que ser modificado como he indicado.