¿Hay un grupo natural de subgrupos de un grupo?

Question

Tome un grupo de $G$, y considerar el conjunto de todos sus subgrupos. Es allí una manera natural para definir la multiplicación de los subgrupos, de tal manera que el conjunto forma un grupo? Si es así, ¿cómo es el funcionamiento restringido, y lo que es este grupo que se llama?

La razón por la que vine con la pregunta y por qué podría parecer natural es este. Una consecuencia de los teoremas de isomorfismo es que $HH'/H\cong H'$ siempre $H,H'$ son distintos subgrupos y $H$ es un subgrupo normal de $G$, y además, si $H,H'$ ambos son subgrupos normales en $G$ con $H\leq H'\leq G$, a continuación, $(G/H)/(H'/H)\cong G/H'$. Así que, en cierto sentido trenzado, parece que por lo menos ciertas situaciones y para ciertos tipos de subgrupos de $G$, puede ser un método natural para la definición de multiplicación que nos permite "hacer aritmética" a través de los subgrupos de $G$? Esto es en el sentido de que, a través de este grupo propuesto, se puede en realidad sólo "cancelar $H$" $(G/H)/(H'/H)\cong G/H'$ como consecuencia de cómo la multiplicación se define. Me parece muy interesante (para mí, al menos) de las consecuencias de la definición de este grupo puede ser.

Lo siento si la pregunta es vaga, pero he aquí una idea de lo que estoy no buscando: Tomar cualquier grupo, tener en cuenta todos los $n$ subgrupos, y definir la multiplicación en algunos de manera arbitraria, tales como la multiplicación sobre la $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Si hacemos esto, perdemos completamente el hecho de que estos elementos que comenzó como subgrupos de un grupo, y la interesante estructura algebraica está perdido! En su lugar, estoy interesada en saber si hay una forma de definir a este grupo de subgrupos que conserva las propiedades algebraicas de que el grupo original, $G$.

Un ingenuo construcción traté de que no funciona: para dos subgrupos $H,H'$ de un grupo abelian $G$, definir $HH'=\{hh':h\in H,h'\in H'\}$. Es muy fácil comprobar esto siempre da un subgrupo de $G$, por lo que hemos de cierre, y la asociatividad y tal se pueden comprobar fácilmente. El problema es que la mayoría de los subgrupos de $G$ no tiene inversa en este "grupo" de subgrupos dentro de un grupo general $G$, porque para $HH'=1$, se requieren $hh'=1$ por cada $h\in H$, $h'\in H'$ que no es posible en todos, pero la mayoría de los casos triviales. Como se señaló en los comentarios, si nos quitan la hipótesis de que la $G$ es abelian, a continuación, sus subgrupos no necesitan ser normal, y esta construcción produce un error aún más mal ya que ni siquiera tenemos el cierre de más. Así que en general, esta construcción no ir a ninguna parte cerca del trabajo.

Cualquier pensamiento, o enlaces a algo que ya ha sido hecho, son muy apreciadas!

Answer 1

Creo que para este tipo de construcción se llama "natural", es necesario tener, al menos, la siguiente propiedad:

La inducida por la acción de $\mathrm{Aut}(G)$ en el conjunto de los subgrupos de $G$ induce a un subgrupo de la automorphism del grupo de los subgrupos.

(Por ejemplo, los subgrupos de $G$ que son "el mismo" con respecto a la estructura de $G$ deberían ser elementos del grupo de los subgrupos que también son "el mismo" con respecto a su estructura, es decir, los subgrupos de $G$ que son conjugado bajo $\mathrm{Aut}(G)$ también debe ser conjugado en virtud de la automorphism del grupo de los subgrupos.)

Pero esto no es siempre posible. Por ejemplo, supongamos $G$ ser el grupo de Klein. Ha $5$ subgrupos, por lo que su grupo de subgrupos debe ser cíclico de orden $5$, pero el automorphism grupo de el grupo de Klein es $S_3$ que no incrusta en el automorphism grupo de $C_5$.

Answer 2

Podemos abrir nuestras condiciones un poco para conseguir algo "natural". Es decir, podemos tomar el espacio vectorial $\mathcal{S}(G)$ generado por los subgrupos de $G$, sobre algún campo de $F$, con el producto de la extensión lineal de $$A\cdot B = AB$$ Entonces, si tenemos un homomorphism $f:G\to H$, podemos extender esto a un homomorphism de $F$-álgebras $f_*:\mathcal{S}(G)\to\mathcal{S}(H)$ dada por $$f_*(A) = f(A)$$ En particular, automorfismos $a:G\to G$ inducir automorfismos $a_*:\mathcal{S}(G)\to \mathcal{S}(G)$.

Nota: esto sólo funciona directamente para abelian grupos, o la rara nonabelian grupos como el de cuaterniones grupo donde cada subgrupo es normal. Si usted quiere hacer esto para grupos generales, usted tiene que ampliar el espacio vectorial de consistir de todos los subconjuntos no vacíos de el grupo. O eso, o usted puede declarar los subgrupos a ser sólo los generadores. A continuación, el espacio vectorial es en realidad más grande, con base a los elementos que no son subgrupos sino que son productos de los subgrupos. Entonces usted va a terminar con algo que no conmutativa, con $HK\neq KH$ si $H$ e $K$ no son normales. Lo normal subgrupos de estar en el centro de la álgebra.

Tenga en cuenta que un subgrupo en este caso nunca es invertible. De hecho, los subgrupos son idempotente elementos, con $A^2=A$ para todos los subgrupos $A$. Entonces $$A(A-\{e\}) = 0$$ para todos los $A$, por lo que cada subgrupo es un divisor de cero. Por lo tanto, perder invertibility, pero tenemos una expresión algebraica de la construcción que conserva homomorphisms (en la categoría de la teoría del sentido, es functorial). Usted también mantener su ecuación dada por el teorema de isomorfismo. Es decir, si $\langle H-\{e\}\rangle$ es el ideal generado por un subgrupo normal, a continuación, $\mathcal{S}(G)/\langle H-\{e\}\rangle\cong \mathcal{S}(G/H)$, e $HH'\mapsto (HH')/H$, que es el mismo que el de la imagen de $H'$. Esto realmente es isomorfo a $H'/(H\cap H')$ sin embargo, y este es el subgrupo se asigna en el cociente. Si $H$ e $H'$ se cruzan trivialmente, esto es sólo $H'$.

En general, si queremos hacer construcciones que implican a grupos podemos llegar a un punto donde no podemos hacer lo que queremos porque los grupos son extremadamente rígidos. Sin embargo, tenemos una gran cantidad de libertad con álgebras de más de un campo, y este es un ejemplo donde se nos permite, básicamente, hacer lo que queremos. Una situación similar es la de los grupos cuánticos, donde podemos deformar un grupo para obtener un $q$-analógico.