Todo grupo no abeliano de orden 6 tiene un subgrupo no normal de orden 2 (revisado)

Question

Soy plenamente consciente de que esta cuestión ya se ha abordado aquí y aquí . La pregunta, sin embargo, deriva de un ejercicio de Dummit y Foote (sección 4.2 ejercicio 10 página 122) y las respuestas proporcionadas hacen uso de material que aparece más tarde en el libro, o, al menos, no las entiendo claramente en términos del material que ya he estudiado.

Por lo tanto, me gustaría presentar la siguiente prueba tentativa "a partir de los primeros principios" (es decir, Dummit y Foote antes de la página 122). Como me siento inseguro al respecto, le agradecería que la comprobara.

Consideremos un grupo no abeliano G de orden 6. Por el teorema de Cauchy, el grupo contiene al menos un elemento de orden 2, y por tanto al menos un subgrupo de orden 2. Supongamos que estos subgrupos son todos normales. Esto implicaría que todos los elementos de orden 2 conmutan con todos los elementos de G.

Los elementos restantes del grupo G son de orden 1 (que trivialmente está en el centro de G), o de orden 3 (el orden 6 implicaría que el grupo es cíclico y por tanto abeliano). Como todos los elementos de orden 2 están en el centro, los elementos de orden 3 conmutarán con ellos. El siguiente razonamiento muestra que también conmutan entre sí.

Dejemos que $x!=y, |x|=|y|=3$ . $\langle x\rangle$ y $\langle y\rangle$ son normales en $G$ porque su índice es $2$ . Ahora $x\{1, y, y^2\}=\{1, y, y^2\}x$ implica, en el caso no abeliano, que $x.y=y^2.x$ y $x.y^2=y.x$ . Igualmente, $y\langle x\rangle=\langle x\rangle y$ implica $y.x=x^2.y$ y $y.x^2=x.y$ . La manipulación de estas ecuaciones muestra $y.x = x.y$ por lo que el caso no abeliano es imposible. Por lo tanto, los elementos de orden 3 también están en el centro de G.

Por lo tanto, G sería abeliano, en contra de la suposición. Así, al menos uno de los subgrupos de orden 2 debería ser no normal.

Answer 1

Básicamente tu razonamiento es correcto (¡bien hecho!): escribirlo con algo más de "sofisticación" - si $N \lhd G$ con $|N|=2$ entonces $N \subseteq Z(G)$ es lo que está utilizando. Ahora bien, si $x \in G$ con $ord(x)=3$ Entonces, como $N$ es central, $N \subsetneq C_G(x)$ donde la inclusión es estricta, debido a $|N|=2$ no divisible por $3$ $\left(x \in C_G(x) \right)$ . Pero $|G:N|=3$ Así que $G=C_G(x)$ , lo que significa $x \in Z(G)$ y por lo tanto $G$ es abeliana.

Answer 2

Una vez que se dispone del teorema de Cauchy está claro que cualquier grupo no abeliano $G$ de orden $6$ es isomorfo a $S_3$ -- que tiene un subgrupo no normal de orden $2$ . En efecto, por el teorema de Cauchy existen elementos $r$ y $s$ en $G$ de orden $3$ y $2$ respectivamente. El subgrupo $C_3=\langle r\rangle$ es normal en $G$ porque es de índice $2$ . Así que $G=C_3\cup C_3\cdot s$ y $G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}$ . Porque $C_3$ es normal, $srs^{-1}=r^k$ para algunos $k=0,1,2$ . Desde $s^2=e$ tenemos $$ r=s^2rs^{-2}=s(srs^{-1})s^{-1}=r^{k^2} $$ para que $k^2\equiv 1 \bmod 3$ es decir, $3\mid (k-1)(k+1)$ . Para $3\mid (k-1)$ el grupo es abeliano, por lo que tenemos $3\mid (k+1)$ y $G\cong D_3\cong S_3$ .