¿Cuántos triángulos máximos se pueden hacer?

Question

Hay $8$ puntos en un plano que no hay tres son colinear cuántos máximo de triángulos que se pueden hacer s.t no hay dos triángulos tienen más de un punto en común.

Ahora puedo elegir a $3$ puntos de $8$ puntos en $^8C_3$ maneras y dos triángulos tienen dos puntos en común si elijo $5$ aspectos, $2$ triángulos fuera de él y que se pueden hacer en $^8C_6 \times ^6C_3 \times \frac 12$ maneras. Así que la respuesta debe ser $^8C_3-(^8C_5 \times ^5C_3\times \frac 12)$.

Soy el doble de contar nada?

Después de ver uno de los comentarios, y pensando un poco creo que el método de complementación será más difícil aquí y estoy pensando en cómo muchas maneras de dibujar un triángulo en lugar de máxima cuántos triángulos,

Lo otro enfoque: puedo elegir tres puntos de $8$ puntos y dibujar el 1 de triángulo, entonces el segundo triángulo puede ser elaborado tomando un punto de la primera(porque estamos maximizando) y $2$ otros del resto de las $5$ puntos. Así que hemos utilizado $5$ puntos y drew $2$ triángulos. No podemos sacar atmost uno más de triángulo. Por lo $3$ es la respuesta.

Answer 1

Sólo tengo una respuesta parcial a la pregunta: el máximo número de triángulos es $8$ o $9$.

Usted no puede tener más de $9$ triángulos, porque sólo hay $^8C_2=28$ bordes determinado por la $8$ puntos, cada triángulo de las necesidades de $3$ bordes, y sin borde puede ser utilizado por más de un triángulo. Por lo que el número de triángulos en la mayoría de las $\lfloor28/3\rfloor=9$.

No veo cómo construir un conjunto de $9$ triángulos satisfacer a sus condiciones, pero puedo conseguir $8$. Es decir, si tenemos la etiqueta de los puntos de $A,B,C,D,E,F,G,H$, el siguiente $8$ trabajo de triángulos: $$ABC,\ ADG,\ AFH,\ BEH,\ BFG,\ CDH,\ CEG,\ DEH$$

P. S. En realidad, $8$ es el máximo. Deje $p$ el número de puntos (por lo $p=8$), deje $t$ el número de triángulos, y deje $n$ el número de pares de $(P,T)$ donde $T$ es un triángulo y $P$ es un vértice de $T$. A continuación, $n=3t$ (ya que cada triángulo tiene $3$ vértices), y $n\le3p$ (ya que en la mayoría de los $3$ triángulos pueden contener un punto determinado), por lo $t\le p=8$.

P. P. S. En caso de que usted se está preguntando cómo me encontré con que el conjunto de $8$ triángulos, empecé con el ejemplo bien conocido de $12$ triángulos en $9$ puntos (Steiner sistema de triple) y elimina un punto. Es decir, le escribió las letras de la a a la I en un $3\times3$ matriz cuadrada, tomó la $6$ filas y columnas, y el $6$ "diagonales" y, a continuación, elimina los que contienen la letra I.

Answer 2

bof da una gran justificación de por qué es de ocho o nueve años con un ejemplo de $8$.

Aquí es por qué no puede ser nueve. Si hubo nueve triángulos, que haría uso de la $27$ puntos, por lo que un punto tendría que ser utilizado, al menos, $4$ veces. Cada uno de estos cuatro triángulos crea dos bordes que contienen este punto, así que tener al menos $8$ bordes que contienen este punto. Pero sólo hay $7$ otros puntos no debe ser un duplicado de borde.