Primes en$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$?

Question

Es un conocido resultado de que los primos de gauss $\mathbb{Z}[i]$ puede ser caracterizado como normal primos $3 \bmod 4$ o normal de los números primos $3\bmod 4$ veces $i$. Así como $a+bi$ donde $a,b$ son no-cero y $a^2 + b^2$ es primo.

¿Cómo caracterizar los números primos del anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$? O, en general, de $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$?

Answer 1

Ese anillo es una única factorización de dominio. Los números primos son $\sqrt{2}$, el aprovechamiento racional de los números primos congruentes a $\pm 3 \pmod{8}$ y los dos factores de cada uno de los racionales los números primos congruentes a $\pm 1 \pmod{8}$. Aquellos racional de los números primos factor precisamente porque tienen $2$ como una ecuación cuadrática de los residuos y, por tanto, la que puede ser escrito como una diferencia $$ p = x^2 - 2y^2 = (x + y\sqrt{2}) (x - y\sqrt{2}) . $$ Así, por ejemplo, la factorización en primos de $7$ es $$ 7 = (3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) . $$

Esta idea se generaliza de forma directa cuando el anillo pasa a disfrutar de factorización única (lo cual es raro). Se vuelve mucho más complicado en general.

Usted puede leer todo acerca de las complicaciones en los casos en Elemental De La Teoría De Los Números: Un Enfoque Algebraico.

Answer 2

La primera cosa a tener en cuenta es que 2 no es primo en este anillo desde $(\sqrt 2)^2 = 2$. Tampoco es $-2$, desde el $(-1)(\sqrt 2)^2 = -2$. Del mismo modo 2 no es primo en $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$, desde el $(-1)(\sqrt{-2})^2 = -2$.En ambos anillos, 2 se dice que "se ramifican," que es el caso, ya que es un múltiplo de la radicando; triviales múltiples se está bien aquí. (Por cierto, 2 no es primo en $\mathbb Z[i]$ ya $(1 - i)(1 + i) = 2$, y también se ramifica en ese dominio, pero no será hasta que usted comprenda los ideales que hará cualquier sentido).

A continuación nos fijamos en los impares, números primos. Supongamos $p$ es positivo impar prime. Luego, utilizando el símbolo de Legendre, si $$\left(\frac{2}{p}\right) = -1,$$ the equation $x^2 \equiv 2 \pmod p$ has no solutions in integers, and then neither does $x^2 - 2y^2 = \pm p$.

Pero si en lugar de $$\left(\frac{2}{p}\right) = 1,$$ the equation $x^2 \equiv 2 \pmod p$ does have solutions in integers, and hopefully so does $x^2 - 2y^2 = \pm p$ (actually, it always does, but it might not if instead we were looking for something like $x^2 - a 10 años^2 = \pm p$ con el correspondiente símbolo de Legendre 1).

Desde $$\left(\frac{2}{p}\right) = 2^{\frac{p - 1}{2}} \pmod p,$$ we can further determine $$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}}.$$ So if $p \equiv 1, 7, 9, 15 \pmod{16}$, it follows that $p^2 - 1$ is a multiple of 16 and so $$\frac{p^2 - 1}{8}$$ is even and therefore $$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} = 1.$$

En contraste a $p \equiv 3, 5, 11, 13 \pmod{16}$. A continuación, $p^2 \equiv 9 \pmod{16}$ y así $$\frac{p^2 - 1}{8}$$ is odd and therefore $$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\frac{p^2 - 1}{8}} = -1.$$

Si el símbolo de Legendre nos dice que $x^2 \equiv 2 \pmod p$ tiene soluciones, entonces el menos positivo $x$ nos dará un número de $x + \sqrt 2$ tal que $(x - \sqrt 2)(x + \sqrt 2) = mp$. A veces $m = 1$, en cuyo caso estamos hecho, como en el ejemplo de 7 Ethan Bolker dio en su respuesta.

En este dominio no tendrá que preocuparse de $m$ siendo negativo, pero podría ser mayor que 1. Por ejemplo, $$\left(\frac{2}{17}\right) = 1$$ and the least solution to $x^2 \equiv 2 \pmod{17}$ is $x = 6$, but $(6 - \sqrt 2)(6 + \sqrt 2) = 34$, not 17. Not to worry, though: $$\frac{6 + \sqrt 2}{\sqrt 2} = 1 + 3 \sqrt 2,$$ and $(-1)(1 - 3 \sqrt 2)(1 + 3 \sqrt 2) = 17.$

Los números primos, como 7 y 17 se dice que "split" en este dominio (que son compuestos y "dividido" en dos factores primos), mientras que los números primos, como el 3 y el 13 se dice que siguen siendo "inerte."

Una cosa buena acerca de $\mathbb Z[\sqrt 2]$ es que la unidad fundamental, $1 + \sqrt 2$, tiene una norma de $-1$. Pero si la unidad fundamental de la que en su lugar tiene norma 1, tenemos que mirar hacia fuera para la posibilidad de que el símbolo de Legendre nos dice $p$ se divide sin embargo, $(x - \sqrt d)(x + \sqrt d) = p$ es insoluble. Si tal es un dominio de factorización única de dominio, entonces podemos contar todavía en $(x - \sqrt d)(x + \sqrt d) = -p$ es soluble.

Tal es el caso de $\mathbb Z[\sqrt 3]$, en el dominio que la unidad fundamental de la es $2 + \sqrt 3$, que tiene norma 1, no $-1$. Vemos que $$\left(\frac{3}{11}\right) = 3^{\frac{11 - 1}{5}} = 1 \pmod{11}.$$ Then we find the least positive $x$ to solve $x^2 \equiv 3 \pmod{11}$ is $x = 5$, which gives us $(5 - \sqrt 3)(5 + \sqrt 3) = 22$.

Desde el 22 no es divisible por 3, no podemos dividir a $5 \pm \sqrt 3$ por $\sqrt 3$, así que ahora tenemos que dividir por un factor de 2. Para no hacer esto más largo de lo que ya es, por favor, acepte en mi decir lo que tenemos que dividir por $1 + \sqrt 3$. Así tenemos $$\frac{5 + \sqrt 3}{1 + \sqrt 3} = -1 + 2 \sqrt 3$$ and $(-1 - 2 \sqrt 3)(-1 + 2 \sqrt 3) = -11$. The factorization of 11 is therefore $(-1)(1 - 2 \sqrt 3)(1 + 2 \sqrt 3)$.

En este dominio 3 es un ramificaciones del primer. Resulta que 2 es también ramificaciones, pero, de nuevo, usted tendrá que entender ideales para envolver su cabeza en torno a eso.

También, será necesario que el símbolo de Kronecker además del símbolo de Legendre para ayudarle a factorizar 2. El símbolo de Legendre será una buena herramienta para los impares, números primos.

Este es un muy profundo y muy interesante tema, y yo podría ir y acerca de ella. Espero que esto es suficiente para guiar el siguiente paso de su estudio.