Para complementar Erik de Parkinson, la construcción y el límite inferior, aquí un apretado límite superior: $22$.
Supongamos que colocamos uno de estos tetraedros en la esfera, con un vértice en el centro y tres en la esfera. ¿Cuál es el área del triángulo esférico generados a partir de los tres vértices sobre la esfera y el gran círculo alrededor de los bordes?
El área de una esfera de polígono (en la unidad de la esfera) es igual al exceso de la suma de los ángulos interiores sobre el estándar para un plano, polígono. Por ejemplo, un triángulo con un vértice en el polo norte y dos vértices $90^\circ$ distancia en el ecuador (una de las caras de un octaedro regular) tiene los tres ángulos iguales a $90^\circ$ (o, equivalentemente, $\frac{\pi}{2}$) para un total de $270^\circ$. Que un exceso de $\frac{\pi}{2}$, exactamente un octavo de la superficie total de $4\pi=720^\circ$.
Para los triángulos que nos importa, voy a usar las coordenadas. El primer vértice $O$ va en el centro $(0,0,0)$. Lugar la segunda y la tercera, en el ecuador, en las latitudes $\pm 30^\circ$: $A=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12,0)$ e $B=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac12,0)$.
El tercer vértice $C$ es entonces directamente sobre el centro de la $OAB$, $x$ coordinar $\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $y$ coordenada cero. Ya que es en la esfera, podemos resolver la esfera de la ecuación de $x^2+y^2+z^2=1$ conseguir $C=(\frac{\sqrt{3}}{3},0,\frac{\sqrt{6}}{3})$.
Ahora, vamos a calcular algunos ángulos de la esfera. Para que vamos a necesitar para calcular los vectores de tangentes, y las ecuaciones de los planos se encuentran en.
La ecuación para el plano tangente a la esfera en un punto de $(u,v,w)$ es simplemente $ux+vy+wz=1$ - para una superficie lisa se define como un nivel de la superficie de $f(x,y,z)=k$, el gradiente de la $f$ es perpendicular al plano tangente. En $A$, esta ecuación se convierte en $\frac{\sqrt{3}}{2}x +\frac12 y=1$.
El gran círculo de $AB$ se encuentra en el plano de la $OAB$, que tiene por ecuación $z=0$.
El gran círculo de $AC$ se encuentra en el plano de la $OAC$. El avión de la ecuación debe tener la forma $ux+vy+wz=0$ para algunos $u,v,w$. Ya que incluye a $A$ e $C$, obtenemos $\frac{\sqrt{3}}{2}u+\frac12 v = 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}u + \frac{\sqrt{6}}{3}w$. La solución de este (y normalización), obtenemos $\frac{\sqrt{2}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y-\frac13z=0$.
La tangente a la gran círculo de $AB$ a $A$ reside tanto en el plano tangente $\frac{\sqrt{3}}{2}x +\frac12 y=1$ y el gran círculo del avión $z=0$. Por lo tanto, es perpendicular a las normales y se puede encontrar con una cruz de producto: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12,0\right)\times (0,0,1) = \left(\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$.
Del mismo modo, tenemos dos planos de la tangente a la gran círculo de $AC$ a $A$, y lo conseguimos con el producto cruzado $\left(\frac{\sqrt{2}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac13\right)\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12,0\right) = \left(\frac16,-\frac{\sqrt{3}}{6},\frac{4\sqrt{2}}{6}\right)$.
Finalmente, el ángulo de la esfera es el ángulo entre los dos vectores de tangentes. Ambos están normalizados a la longitud de la $1$ ya, por lo que acabo de sacar su producto escalar de a$\frac1{12}+\frac{3}{12}+\frac{0}{12}=\frac13$ encontrar el ángulo de $\arccos\left(\frac13\right)$.
Numéricamente, $\arccos\left(\frac13\right)$ es de aproximadamente $1.23$o $70.5^\circ$. Por simetría, los otros dos ángulos del triángulo esférico son los mismos, por lo que el exceso es $3\arccos\left(\frac13\right)-\pi\approx 0.551$, o alrededor de $31.6^\circ$. División que en el área total $4\pi$ o $720^\circ$, obtenemos acerca de $22.8$. Dado que el número de tetraedros debe ser un número entero, se redondeará hacia abajo para conseguir que en la mayoría de las $22$ tetraedros de este tipo puede caber en la esfera. Tomó un montón de espacio para escribir, pero todo esto es muy rutinario.
Y ahora, que deja a la determinación de si $21$ o $22$ tetraedros son posibles. Espero que la parte más difícil de todo lo que ha venido antes.
es bastante obvio que no hay espacio suficiente para meterse en otro tetraedro allí. (Esto corresponde a la realidad, haciendo de 20 unidad de tetraedros, y tratando de meterse en un tetraedro, manteniendo todos ellos dentro de una unidad de la esfera. Recuerde, las de arriba son las redes, no de un ángulo sólido diagrama).
