La diferencia entre aplicar una matriz de rotación a un vector (puntos) y a una matriz (transformación)

Question

Supongamos que la matriz de rotación se define como $\mathbf{R}$ . Entonces, para rotar un vector y una matriz, se utilizan las siguientes expresiones, respectivamente

$\mathbf{u'}=\mathbf{R} \mathbf{u}$

y

$\mathbf{U'}=\mathbf{R} \mathbf{U} \mathbf{R}^T$ ,

donde $\mathbf{u}$ y $\mathbf{U}$ son, respectivamente, un vector arbitrario y una matriz arbitraria.

Para mí, la primera es obvia ya que simplemente se multiplica la matriz de rotación por el vector (por ejemplo una coordenada de punto en 3D) y se obtiene el vector rotado (coordenada de punto rotada en 3D). Sin embargo, la segunda no me queda clara y por qué hay que multiplicar la rotación por ambos lados y cómo se deriva esta expresión.

P.D. La matriz $\mathbf{U}$ puede interpretarse como una matriz de estiramiento en 3D.

Answer 1

Aquí la matriz $U$ se considera no como un montón de vectores columna, sino como una (matriz del) mapa lineal $F\colon {\Bbb R}^n\to {\Bbb R}^n$ $$y=F(x)=Ux.$$ ¿Qué sucede si giramos ambos $y$ y $x$ por $R$ ? Obtenemos (ya que $R^TR=I$ para las rotaciones) $$y=Ux\quad\Rightarrow\quad Ry=RUx\quad\Rightarrow\quad Ry=\underbrace{RUR^T}_{U'}Rx\quad\Rightarrow\quad y'=U'x'.$$ Así, la matriz $U'=RUR^T$ corresponde al mismo mapa lineal $F$ en las nuevas coordenadas después de la rotación ( $x'\mapsto y'$ ).

En general, para cualquier cambio de base $x'=Sx$ , $y'=Sy$ el cambio correspondiente de la matriz $U$ es $$Sy=\underbrace{SUS^{-1}}_{U'}Sx\quad\Rightarrow\quad y'=U'x'.$$ Significa que la clase de todas las matrices similares $\{SUS^{-1}\colon S\text{ invertible}\}$ es exactamente la clase de todo matrices que describen la mismo mapa lineal en diferentes bases.

Answer 2

Utilizando su ejemplo en el que $U$ es una matriz de estiramiento en 3D, si quieres "rotar" esta matriz, esencialmente quieres que esta acción de estiramiento ocurra en una dirección / eje diferente. Suponga que tiene una forma alineada con este nuevo eje. Usted quiere saber cuál es el $U'$ es que estira la forma paralela a este eje. Para ello, se utiliza $R^T$ para girar todo a la orientación original. Luego se hace la transformación de estiramiento original $U$ . Luego se gira esto hacia atrás usando $R$ . Así que $U'=RUR^T$ .

Answer 3

Algo que puede resultar instructivo es recordar que toda matriz puede representarse como la combinación lineal de una serie de productos diádicos/extremos entre dos vectores, $U = \sum_i a_i \otimes b_i = \sum_i a_i b_i^T$ donde $a_i$ y $b_i$ son una secuencia de vectores columna.

Al cambiar la base de la matriz, estamos aplicando la regla de los vectores para cambiar las bases a ambas secuencias de vectores:

$$U’ = \sum_i a_i’ \otimes b_i’ = \sum_i Ra_i (Rb_i)^T = \sum_iRa_ib_i^T R^T = RUR^T$$

Espero que esto ayude.

Answer 4

Las columnas de $\mathbf{U}$ te dice lo que ocurre con los vectores de coordenadas $\hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3$ . Por ejemplo, si la primera columna es $[a,b,c]^T$ entonces $\mathbf{U}\hat{e}_1 = a\hat{e}_1 + b\hat{e}_2 + c\hat{e}_3$ .

La matriz $\mathbf{U}'$ es la matriz que se comporta de la misma manera en la base de coordenadas rotada $\hat{f}_i = \mathbf{R}\hat{e}_i$ . Esto se debe a que $\mathbf{R}^T = \mathbf{R}^{-1}$ Así, por ejemplo $$\begin{align*} \mathbf{U}'\hat{f}_1 &= \mathbf{R}\mathbf{U}\mathbf{R}^T\mathbf{R}\hat{e}_1 \\\ &= \mathbf{R}\left(\mathbf{U}\hat{e}_1\right) \\\ &= \mathbf{R}(a\hat{e}_1 + b\hat{e}_2 + c\hat{e}_3) \\\ &= a\mathbf{R}\hat{e}_1 + b\mathbf{R}\hat{e}_2 + c\mathbf{R}\hat{e}_3 \\\ &= a\hat{f}_1 + b\hat{f}_2 + c\hat{f}_3 \end{align*}$$