Recientemente he estado aprendiendo sobre las elipses.
Parece que hay cuatro (por lo que he sabido hasta ahora) diferentes maneras de definir las elipses, todas las cuales parecen estar conectadas de maneras algo oscuras:
- Una elipse es un círculo estirado. Obtenemos la fórmula del círculo unitario, $x^2 + y^2 = 1$ y estirarlo dividiendo los términos así: $\displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ . Para satisfacer la misma ecuación, para cada $y$ que teníamos anteriormente, $x$ debe estirarse por un factor de $a$ y para cada $x$ que teníamos anteriormente, $y$ debe ser estirado (multiplicado) por un factor de $b$ .
- Una elipse es el conjunto de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos, los focos, es una constante. Podemos representarlo con la ecuación $\sqrt{(x+f)^2 + y^2} + \sqrt{(x-f)^2 + y^2} = c^2$ , donde $c = 2a$ de la ecuación anterior, $f$ es la distancia de un foco al origen, y $x$ y $y$ son las variables.
- Una elipse es un corte de un cono en un ángulo. Esto significa que es la intersección de un plano ( $ax+by+cz-d=0$ ) y un cono ( $x^2 + y^2 - z^2=0$ ), que da lugar a la ecuación $Ax^2 + Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ para el caso de que $B^2-4AC<0$ .
- Una elipse es un lugar de puntos cuya distancia al foco en cada $(x,y)$ es proporcional a la distancia horizontal de una línea vertical, la directriz, cuando la relación es menor que 1.
Me gustaría saber más sobre la historia de la elipse.
¿Se descubrieron todas estas definiciones más o menos al mismo tiempo? Si no es así, ¿en qué orden se descubrieron y por quién? ¿Las mismas personas que dieron una definición dieron otras? ¿Y cómo vieron los matemáticos las conexiones entre ellas y se dieron cuenta de que estaban viendo la misma familia de curvas?
Las conexiones entre, por ejemplo, el "círculo aplastado" definición y la "suma constante de distancias" La definición es bastante difícil de notar... ¿quién se dio cuenta de que se trataba de la misma familia de formas? Es decir, sin que se diga que los focos DO existen, no estoy seguro de cómo podría averiguar, sólo por la definición del círculo aplastado, que efectivamente existen... _(Lo pregunté en otra pregunta pero en este estoy más interesado, por la historia)._
Gracias.
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Tenemos un lado hermano dedicado específicamente a la historia de las matemáticas y la ciencia . Creo que su pregunta es más adecuada allí.
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En cuanto a "aparecer al mismo tiempo": La definición de sección cónica (es decir, trozo de cono) es de la antigua Grecia o anterior, que fue un par de miles de años antes de que a nadie se le ocurriera dibujar sistemas de coordenadas y escribir ecuaciones para la elipse.
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sites.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers1999/
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Esto puede ser de ayuda: math.stackexchange.com/questions/2221890/
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Aquí hay un vídeo que muestra la conexión entre el cono rebanado y la suma de focos: youtube.com/watch?v=pQa_tWZmlGs
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@AlexanderGruber ¡gracias!
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@user376343 tú también. Gran respuesta.