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¿Historia de las definiciones de una elipse?

Recientemente he estado aprendiendo sobre las elipses.

Parece que hay cuatro (por lo que he sabido hasta ahora) diferentes maneras de definir las elipses, todas las cuales parecen estar conectadas de maneras algo oscuras:

  1. Una elipse es un círculo estirado. Obtenemos la fórmula del círculo unitario, $x^2 + y^2 = 1$ y estirarlo dividiendo los términos así: $\displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1$ . Para satisfacer la misma ecuación, para cada $y$ que teníamos anteriormente, $x$ debe estirarse por un factor de $a$ y para cada $x$ que teníamos anteriormente, $y$ debe ser estirado (multiplicado) por un factor de $b$ .

  1. Una elipse es el conjunto de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos, los focos, es una constante. Podemos representarlo con la ecuación $\sqrt{(x+f)^2 + y^2} + \sqrt{(x-f)^2 + y^2} = c^2$ , donde $c = 2a$ de la ecuación anterior, $f$ es la distancia de un foco al origen, y $x$ y $y$ son las variables.

  1. Una elipse es un corte de un cono en un ángulo. Esto significa que es la intersección de un plano ( $ax+by+cz-d=0$ ) y un cono ( $x^2 + y^2 - z^2=0$ ), que da lugar a la ecuación $Ax^2 + Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ para el caso de que $B^2-4AC<0$ .

  1. Una elipse es un lugar de puntos cuya distancia al foco en cada $(x,y)$ es proporcional a la distancia horizontal de una línea vertical, la directriz, cuando la relación es menor que 1.

Me gustaría saber más sobre la historia de la elipse.

¿Se descubrieron todas estas definiciones más o menos al mismo tiempo? Si no es así, ¿en qué orden se descubrieron y por quién? ¿Las mismas personas que dieron una definición dieron otras? ¿Y cómo vieron los matemáticos las conexiones entre ellas y se dieron cuenta de que estaban viendo la misma familia de curvas?

Las conexiones entre, por ejemplo, el "círculo aplastado" definición y la "suma constante de distancias" La definición es bastante difícil de notar... ¿quién se dio cuenta de que se trataba de la misma familia de formas? Es decir, sin que se diga que los focos DO existen, no estoy seguro de cómo podría averiguar, sólo por la definición del círculo aplastado, que efectivamente existen... _(Lo pregunté en otra pregunta pero en este estoy más interesado, por la historia)._

Gracias.

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Tenemos un lado hermano dedicado específicamente a la historia de las matemáticas y la ciencia . Creo que su pregunta es más adecuada allí.

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En cuanto a "aparecer al mismo tiempo": La definición de sección cónica (es decir, trozo de cono) es de la antigua Grecia o anterior, que fue un par de miles de años antes de que a nadie se le ocurriera dibujar sistemas de coordenadas y escribir ecuaciones para la elipse.

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difrnt Puntos 986

Esta mi respuesta está lejos de ser completa, pero puede ser útil. Pido disculpas por todas las imperfecciones o errores. Se pueden encontrar varias fuentes excelentes en lengua francesa.

En este trabajo aprendemos que las secciones cónicas fueron probablemente descubiertas por Menaechmus (380-320 a.C.) . La prioridad de Menaechmus se justifica ici o en este Artículo de Wikipedia . Menaechmus avanzó lo suficiente la teoría de las secciones cónicas como para que en la antigüedad estas curvas se llamaran Curvas de Menaechmus . Los conos se obtuvieron girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus lados cortos, y una sección cónica obtenida como sección de la superficie cónica por un plano ortogonal a la línea generadora. picture 10 La imagen de la obra citada a continuación muestra un ángulo recto , obtusángulo o acutángulo cónico, como se les llamaba.

Además de Menaechmus, otros geómetras griegos estudiaron las secciones cónicas y sus propiedades antes que Apolonio. Algunos de ellos fueron

Apolonio de Perga (c. 262 - c. 190 a.C.) dio a la elipse (cónica acutángulo), a la parábola (cónica ángulo recto) y a la hipérbola (cónica obtusángulo) los nombres con los que ahora las conocemos. Es famoso por sus escritos sobre las secciones cónicas, y a menudo se le designa erróneamente como su inventor. Su (¿plagio?) es criticado por Eutocius como se cita a continuación.

El autor de este texto estados,

En este punto, parece que nuestro comentarista [E] se ha dejado impresionar por otro "historiador" de la teoría de las cónicas, Pappus. La presentación que dedica al tratado de Apolonio comienza:
"Apolonio nos ha dado ocho libros sobre las cónicas, habiendo completado los cuatro libros de las Cónicas de Euclides, y habiendo añadido otros cuatro libros. Aristeo, autor de Los cinco libros sobre los loci sólidos , todavía disponible hoy en día, siguiendo las Cónicas, había sin embargo, como los predecesores de Apolonio, llamado a una de las secciones cónicas la "sección de cono acutángulo", la otra la "sección de cono rectángulo" y la otra aún, la "sección de cono obtusángulo"".

Saltando siglos, llamaría la atención sobre Philippe de la Hire, 1640 - 1718 que se inspiró en Apolonio. Una fuente abundante es esta tesis . De la Hire utilizó un primer método proyectivo : Toda sección cónica puede obtenerse a partir de un círculo mediante una proyección. Este método se desarrolló en siglos posteriores.

Cabe destacar el planteamiento de Steiner .

Una buena prueba de que la definición focal de elipse (suma de distancias a dos puntos dados, focos, es constante), y de elipse como sección de una superficie cónica por un plano, se debe a Dandelina germinal (y Adolphe Quetelet ) y está fechado en 1822. La imagen (abajo) es de wikipedia . wikipedia

El artículo Secciones cónicas en Wikipedia es excelente. Para la historia temprana de las cónicas en Europa, véase el párrafo Europa y sus referencias.

Los enlaces proporcionados en los comentarios a la presente pregunta también son útiles.

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Una prueba de que la suma (para una elipse) o la diferencia (para una hipérbola) de las distancias focales es constante se encuentra ya en Apolonio (prop. 52 y 53, libro III - prop. 73 en la traducción de Heath).

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Gracias @Aretino, cierto. Editado.

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Gracias @Xander Henderson por la revisión. Los nombres de las cónicas eran en la antigüedad obtusángulo , ... ...así que le devuelvo la redacción.

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