¿Qué hace que los pares de operadores$(-, +)$ y$(÷, ×)$ sean tan similares?

Question

Actualización

Mis pensamientos originales se expresa mejor en este mathoverflow post.

Versión Corta

Cuando la definición de la $-$, $+$, $÷$, e $×$ operadores de manera funcional, se puede observar que el $(-, +)$ par es muy similar a la $(÷, ×)$ par, y la única diferencia entre ellos es su identidad en términos de ($0$ e $1$ respectivamente) y el hecho de que el divisor no puede ser igual a la identidad término de la $(-, +)$ par de operadores.

Mis preguntas son las siguientes: ¿dónde puedo encontrar algún trabajo previo sobre este tema, y se puede definir una familia de operador en pares con diferentes términos de identidad? ¿Hay alguna teoría para dichos objetos?

La Teoría De Conjuntos Versión

Mientras que las propiedades aritméticas se indican a continuación pueden ser definidos para ambos conjuntos y tipos, refiriéndose a la teoría de conjuntos puede ayudar a aclarar la cuestión: si $(+, -)$ con 0 como elemento de identidad que define a un grupo y $[(+, -), (×, ÷)]$ con 1 como elemento de identidad para $(×, ÷)$ define un campo, lo que se define por $[(+, -), (×, ÷), (\#, @)]$ con un elemento de identidad para $(\#, @)$ distinto de 0 y 1?

Desde $(+, -, 0)$ se utiliza para definir $\mathbb{Z}$ e $[(+, -, 0), (×, ÷, 1)]$ se utiliza para definir $\mathbb{Q}$que $(\#, @, r)$ podría ser introducido de manera que $[(+, -, 0), (×, ÷, 1), (\#, @, r)]$ definiría $\mathbb{S}$, $\mathbb{Q} \subset \mathbb{S} \subseteq \mathbb{R}$?

Intuitivamente, $\#$ debe estar basado en la exponenciación, mientras que $@$ debe estar basado en logaritmo.

Versión Larga

Se puede definir el $-$, $+$, $÷$, e $×$ operadores de la siguiente manera:

Menos:

$ \small \text{Menos Identidad Plazo: el signo de identidad término es igual a 0.}\normalsize\\ i(m) = 0.\\ \quad\\ \small \text{Sustracción de Identidad:} \enspace \alpha - 0 = \alpha.\normalsize\\ m(\alpha, i(m)) = \alpha.\\ \quad\\ \small \text{Self Sustracción:} \enspace \alpha = \beta \Longleftrightarrow \alpha \beta = 0.\normalsize\\ \alpha = \beta \Longleftrightarrow m(\alpha, \beta) = i(m).\\ \quad\\ \small \text{Resta Afín Identidad:} \enspace \alpha - (\beta \gamma) = \gamma (\beta \alpha).\normalsize\\ m(\alpha, m(\beta \gamma)) = m(\gamma, m(\beta \alpha)).\\ $

Plus:

$ \small \text{Multiplicación Afín Identidad:} \enspace (\alpha + \beta) - \gamma = \alpha - (\gamma \beta).\normalsize\\ m(p(\alpha, \beta), \gamma) = m(\alpha, m(\gamma \beta)).\\ $

Divide:

$ \small \text{Divide Identidad Plazo: las divisiones de identidad término es igual a 1.} \normalsize\\ i(d) = 1.\\ \quad\\ \small \text{División de Identidad:} \enspace \frac{\alpha}{1} = \alpha.\normalsize\\ d(\alpha, i(d)) = \alpha.\\ \quad\\ \small \text{Self División:} \enspace \frac{\alpha}{\alpha} = 1.\normalsize\\ \alpha = \beta \Longleftrightarrow d(\alpha, \beta) = i(d).\\ \quad\\ \small \text{División Afín Identidad:} \enspace \frac{\alpha}{\frac{\beta}{\gamma}} = \frac{\gamma}{\frac{\beta}{\alpha}}.\normalsize\\ d(\alpha, d(\beta \gamma)) = d(\gamma, d(\beta \alpha)).\\ $

Horarios:

$ \small \text{Multiplicación Afín Identidad:} \enspace \frac{\alpha × \beta}{\gamma} = \frac{\alpha}{\frac{\gamma}{\beta}}.\normalsize\\ d(t(\alpha, \beta), \gamma) = d(\alpha, d(\gamma \beta)).\\ $

Observamos que a la par de que los divide y los tiempos de los operadores se definen exactamente de la misma manera como la pareja de menos y de más operadores, pero con diferentes términos de identidad, y con menos identidad restricción en el multiplicador subdominio de que la divide de la función.

La simetría se establece entre los pares de operadores de $(-, +)$ e $(÷, ×)$ permite los siguientes pares de propiedades para ser probado para ambas propiedades en cada uno de los pares mediante la prueba de una sola propiedad.

Las siguientes son las propiedades establecidas para cualquier par de funciones de operador $(f, g)$, que corresponde a los pares de $(-, +)$ e $(÷, ×)$. Además, el término inverso se utiliza para referirse a la opuesta de la $(-, +)$ par y a la inversa para el $(÷, ×)$ par.

Pruebas de la $(-, +)$ par se pueden encontrar en este cuaderno.

Anticommutativity: $f(\alpha, \beta) = f(i(f), f(\beta, \alpha).$

$ \alpha \beta = -(\beta \alpha).\\ \quad\\ \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{\frac{\beta}{\alpha}}.\\ $

Inverso Doble Identidad: $\alpha = f(i(f), f(i(f), \alpha)).$

$ \alpha = -(-\alpha).\\ \quad\\ \displaystyle \alpha = \frac{1}{\frac{1}{\alpha}}.\\ $

Asociativa Conmutatividad: $f(f(\alpha, \beta), \gamma) = f(f(\alpha, \gamma), \beta).$

$ (\alpha \beta) - \gamma = (\alpha \gamma) - \beta.\\ \quad\\ \displaystyle \frac{\frac{\alpha}{\beta}}{\gamma} = \frac{\frac{\alpha}{\gamma}}{\beta}.\\ $

Afín De Equivalencia: $f(\alpha, \beta) = \gamma \Longleftrightarrow f(\alpha, \gamma) = \beta.$

$ \alpha \beta = \gamma \Longleftrightarrow \alpha \gamma = \beta.\\ \quad\\ \displaystyle \frac{\alpha}{\beta} = \gamma \Longleftrightarrow \frac{\alpha}{\gamma} = \beta.\\ $

Elemento De Identidad: $g(\alpha, i(f)) = \alpha.$

$ \alpha + 0 = \alpha.\\ \quad\\ \alpha × 1 = \alpha.\\ $

Doble Sustitución: $g(\alpha, \beta) = f(\alpha, f(i(f), \beta)).$

$ \alpha + \beta = \alpha - (-\beta).\\ \quad\\ \alpha × \beta = \frac{\alpha}{\frac{1}{\beta}}.\\ $

Doble Equivalencia: $\alpha = g(\beta, \gamma) \Longleftrightarrow \beta = f(\alpha, \gamma).$

$ \alpha = \beta + \gamma \Longleftrightarrow \beta = \alpha \gamma.\\ \quad\\ \alpha = \beta × \gamma \Longleftrightarrow \beta = \frac{\alpha}{\gamma}.\\ $

Conmutatividad: $g(\alpha, \beta) = g(\beta, \alpha).$

$ \alpha + \beta = \beta + \alpha.\\ \quad\\ \alpha × \beta = \beta × \alpha.\\ $

Asociatividad: $g(g(\alpha, \beta), \gamma) = g(\alpha, g(\beta, \gamma)).$

$ (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma).\\ \quad\\ (\alpha × \beta) × \gamma = \alpha × (\beta × \gamma).\\ $

Doble Identidad: $(g(f(\alpha, \beta), \beta) = \alpha) \land (f(g(\alpha, \beta), \beta) = \alpha).$

$ ((\alpha \beta) + \beta = \alpha) \de la tierra ((\alpha + \beta) - \beta = \alpha).\\ \quad\\ \displaystyle (\frac{\alpha}{\gamma} x \beta = \alpha) \de la tierra (\frac{\alpha × \beta}{\beta} = \alpha).\\ $

Answer 1

De qué estás hablando se llama un Campo.

Un Campo es un conjunto (es decir número racional $\mathbb{Q}$números reales, $\mathbb{R}$, números complejos $\mathbb{C}$, etc...), junto con dos operaciones de $(+,\times)$ tal que los siguientes axiomas se tiene:

Las operaciones son asociativas: $a + (b + c) = (a + b) + c$ e $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) $

Las operaciones son conmutativas: $a+b=b+a$ e $a\cdot b=b\cdot a$

Cada una de las operaciones tiene su propio elemento de identidad $(0,1)$. Formalmente, existen dos elementos diferentes $0$ e $1$ tal que $a + 0 = a$ e $a · 1 = a$.

Y cada una de las operaciones admite "inverso", es decir, tenemos $(-,/)$). Es decir,

Para cada $a$, existe un elemento denotado $−a$, de tal manera que $a + (−a) = 0$. Del mismo modo para cada $a\not = 0$ existe un elemento, a menudo denotado por $a^{-1}$ o $1/a$ tal que $a\cdot a^{-1}=1$.

Finalmente hay un axioma que se asocian entre el aditivo y multiplicativo noción. Se llama la distributividad y dice que $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.

Tenemos muchos campos, algunos de ellos son finitos, y algunos son infinitas. En mi opinión el mejor ejemplo de un campo finito sería $\mathbb{F}_p$ - el campo de la $p$-elementos con la adición y la multiplicación modulo $p$, usted puede leer sobre esto y más finito campos aquí. El más útil infinita campos (de Nuevo en mi opinión) son los números racionales, los números reales y los números complejos con la habitual la adición y la multiplicación. La parte importante es que sin embargo, y cada campo satisface todas las propiedades que usted menciona en su pregunta.

Tenga en cuenta que he quitado cuantificadores de las definiciones para hacerlos más sencillos, para la completa y correcta de los axiomas de campo por favor, haga clic en el enlace en la primera línea.

Answer 2

Puesto que usted está interesado en el tipo de teoría y decir que se trata por tanto de un elemento libre de perspectiva, te voy a dar la categoría de perspectiva.

En la categoría de teoría, podemos definir el grupo de objetos en una categoría $C$ finitos productos (incluyendo el terminal de objeto, $*$) como un objeto $G$ con $\mu : G\times G \to G$ (un operador binario), $e: * \to G$ (un nullary operador), y $i : G\to G$ (un operador unario) que satisface las siguientes relaciones, donde $\Delta_G : G\to G\times G$ es la diagonal mapa y $\tau_G : G\to *$ es el mapa de la terminal del objeto:

Asociatividad: $$\mu\circ (\mu\times \newcommand\id{\operatorname{id}}\id) = \mu\circ (\id\times \mu) :G\times G\times G \to G$$ Identidad: $$\mu\circ (\id\times e)=\mu\circ (e \times \id)=\id : G\times G$$ Inversos: $$\mu\circ (\id\times i) \circ \Delta_G = \mu\circ (i\times \id) \circ \Delta_G = e\circ \tau_G : G\to G$$

Ahora esta axiomatization es equivalente a la axiomatization que has dado en tu pregunta, excepto que en lugar de la inversión, le han dado una división como la operación primitiva.

Para obtener los datos, podemos definir la división de $d=\mu \circ (\id \times i)$.

Por el contrario, dada la división de $d: G\times G\to G$, definimos $i$ por $i=d\circ (e\times \id)$.

Su axiomatization da la asociatividad y la identidad de forma gratuita, además de conmutatividad (así que usted está técnicamente axiomatizing abelian grupos).

Entonces su "doble identidad" puede ser formulada $$\mu\circ (d\times \id) \circ (\id \times \Delta_G) = d\circ (\mu \times \id)\circ (\id \times \Delta_G) = \id \times \tau_G : G\times G\to G $$

Componiendo con $e\times \id$ obtenemos la identidad $$\mu\circ (d\times \id) \circ (\id\times \Delta_G) \circ (e\times \id) = \mu\circ (d\times \id)\circ (e\times \id\times \id)\circ \Delta_G = \mu\circ (i\times \id)\circ \Delta_G=e\times \tau_G,$$ que es la mitad de los inversos de identidad, y la otra mitad que nos da es: $$d\circ (\mu\times \id) \circ (\id\times \Delta_G) \circ (e\times \id) = d\circ (\mu\times \id)\circ (e\times \id\times \id)\circ \Delta_G = d\circ \Delta_G=e\circ \tau_G,$$ tan sólo tenemos que comprobar $d = \mu\circ (\id \times i)$, y esto se desprende de su inverso doble y doble sustitución de identidades. (Llegamos $\alpha + (-\beta) = \alpha - (-(-\beta)) = \alpha - \beta$).

Conclusión

Todas las propiedades que hemos enumerados a seguir, desde el hecho de que las operaciones que hayas elegido definir abelian grupos.

Por lo tanto la razón de que los triples de los operadores (no te olvides de la identidad) son tan similares, es que cada uno de ellos definir abelian grupos.

Editar:

Ahora es un poco más claro para mí lo que usted está preguntando acerca de. Usted también está interesado en la relación entre estos pares/triples de los operadores, y cómo posiblemente añadir otro par/triple.

En cuyo caso, siento la necesidad de señalar que los campos no vienen con dos pares de operaciones.

Es un poco más fácil ver esto en el caso de (propiedad conmutativa) los anillos.

Para un general de anillo conmutativo $R$ definir $a/b = a\cdot b^{-1}$ cuando $b$ es invertible.

A continuación, la colección de todos los invertible elementos de $R$, denotado $R^\times$ forma un grupo, y ha de identidad $1$, la costumbre, la multiplicación como la multiplicación y la división se define solamente le da a la operación de división.

Ahora $R^\times=R$, como se establece sólo cuando $R=0$, el cero del anillo, ya que de lo contrario $0$ nunca es invertible. Así, el triple de las operaciones de $(1,*,/)$ nunca es en realidad un triple de operaciones en $R$, sino más bien un triple de operaciones sobre el objeto relacionado $R^\times$.

En el caso muy especial de campos, $R^\times = R\setminus\{0\}$, pero para decir los números enteros, tenemos $\Bbb{Z}^\times = \{1,-1\}$.

También hay un axioma adicional relativa a las operaciones $+$ e $*$, la distributiva de la ley.

Por lo tanto no está claro lo que significa la adición de otro triple de operaciones.

Los dos triples de operaciones discutido ya no estén definidas en el mismo set/tipo para empezar, por lo que no es del todo claro cómo sería la adición de un tercero.

También, incluso si usted hizo construir un tipo en los que se define una tercera operación, esta tercera operación debe relacionar a los dos anteriores de alguna manera.

En matemáticas, hay ejemplos de anillos con operaciones adicionales (aunque ninguno que se me ocurre de que forma un grupo abelian), tales como el diferencial graduada de álgebras, pero la tercera operación se refiere siempre a los dos de alguna manera.

Answer 3

Actualización: Una respuesta más detallada está disponible en este mathoverflow post.

Seguir a @sugerencia de Henry, una estructura recursiva de abelian grupos puede ser construido mediante el uso conmutativa hyperoperations:

$p_{n+1}(a, b) = \exp(p_n(\ln(a), \ln(b)))$

$p_0(a, b) = \ln\left(e^a + e^b\right)$

$p_1(a, b) = a + b$

$p_2(a, b) = a\cdot b = e^{\ln(a) + \ln(b)}$

$p_3(a, b) = a^{\ln(b)} = e^{\ln(a)\ln(b)}$

$p_4(a, b) = e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}$

Estas funciones nos dan la secuencia de $(+, ×, ...)$ operaciones, mientras que sus funciones inversas nos dan la secuencia de $(-, ÷, ...)$ dual operaciones. La secuencia de identidad condiciones es $(0, 1, e, ...)$. Con esto, $T_1$ (Nivel 1) es isomorfo a un grupo, $T_2$ es isormorphic a un campo, y los sucesivos tipos de darle más y más objetos complejos.

La identidad términos son:

$i_n = e \upuparrows (n - 2).$

$i_1 = 0.$

$i_2 = 1.$

$i_3 = e.$

$i_3 = e ^ e.$

$i_4 = e ^ {e ^ e}.$

Mientras que yo aún no puedo imaginar lo $T_4$ Y los sucesivos tipos pueden ser utilizados para, tengo que creer que $T_3$ es interesante, porque trae exponenciación a la mesa en una manera muy natural. Por lo tanto, detenerse en el nivel de los campos se siente bastante miope.

También, $T_1$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ e $T_2$ es isomorfo a $\mathbb{Q}$, pero $T_3$ es isomorfo a un subconjunto estricto de $\mathbb{R}$. Esto va a sugerir que la diferencia entre los $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ es bastante grande y debe ser llenado de forma incremental con más y más juegos. Una pregunta interesante es si $T_n$ "converge" hacia una estructura que es isomorfo a $\mathbb{R}$ cuando $n$ aumenta.

Answer 4

Aquí está mi mejor intento de responder a esta pregunta; pero la respuesta que tengo es probable a ser decepcionante.

Si $(+, -)$ con 0 como elemento de identidad que define a un grupo y $[(+, -), (×, /)]$ con 1 como elemento de identidad para $(×, /)$ define un campo, lo que se define por $[(+, -), (×, /), (\#, @)]$ con un elemento de identidad para $(\#, @)$ distinto de 0 y 1?

Hasta donde yo sé, no hay tal cosa ha sido estudiado ninguna cantidad significativa.

Como usted ha notado, cualquier campo tiene dos grupos correspondientes: aditivo y su grupo multiplicativo de grupo. Estos dos grupos tienen diferentes elementos de identidad.

No estoy al tanto de cualquier tipo de estructura algebraica que tiene tres grupos correspondientes. Y nadie va a estudiar estas cosas, o el nombre de ellos, hasta que alguien ha encontrado un interesante ejemplo de tal cosa.

Answer 5

$\log$ convierte la multiplicación y división en suma y resta. La declaración precisa es que $\log: \mathbb R^+ \to \mathbb R$ es un isomorfismo de grupo, cuyo inverso es $\exp$ .