Una prueba extraña de la expansión de Taylor

Question

Este es un problema del libro de texto de Gouvea sobre $p$ - los números de la época.

Dejemos que $f(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ sea un polinomio con coeficientes en un campo $K$ de característica cero. Demuestre que la fórmula de Taylor es verdadera para $f(x)$ es decir, que para cualquier $x, h \in K$ , $$f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{1}{2!} f''(x)h^2 + \ldots$$

Esto puede hacerse de muchas maneras, normalmente mediante la comparación de los coeficientes de $x^k$ en ambos lados de las ecuaciones, pero el autor sugiere una prueba más jazzista, que es una exageración. El campo generado por $\mathbb Q$ y los coeficientes de $f(x)$ puede ser incrustado en $\mathbb C$ y el teorema es claramente cierto para polinomios con coeficientes complejos.

Mis preguntas son:

1. ¿Cómo puedo demostrar la existencia de una incrustación $\mathbb Q(a_0, a_1, \ldots, a_n) \to \mathbb C$ ?
2. ¿Por qué es cierta la expansión de Taylor en $\mathbb C$ ?

Answer 1

Cada campo $K$ de la característica $0$ con grado de trascendencia $\operatorname{trdeg}(K|\mathbb Q) \leq \operatorname{trdeg}(\mathbb C|\mathbb Q) = 2^{\aleph_0}$ puede ser incrustado en $\mathbb C$ de la siguiente manera: Sea $T$ ser una base de trascendencia para $K|\mathbb Q$ y $T'$ una base de trascendencia para $\mathbb C|\mathbb Q$ . Elija una inyección $T \hookrightarrow T'$ para obtener una incrustación $\mathbb Q(T) \hookrightarrow \mathbb Q(T')$ . Desde $K|\mathbb Q(T)$ es una extensión algebraica y $\mathbb C$ es el cierre algebraico de $\mathbb Q(T')$ la incrustación puede extenderse a una incrustación $K \hookrightarrow \mathbb C$ .

En cuanto a por qué la expansión de Taylor para polinomios es verdadera en $\mathbb C$ No creo que haya una prueba más fácil que no funcione sobre un campo arbitrario de característica $0$ . Es algo que uno aceptaría como conocido en un curso de análisis y no se molestaría en reprobarlo en un libro de texto un $p$ - números de la época. Si realmente quieres demostrar la expansión de Taylor para polinomios sobre $\mathbb C$ lo más fácil seguiría siendo escribir $$f(x+h) = \sum_i p_i(x)h^i$$ con polinomios $p_i \in \mathbb C[x]$ , tome el $k$ -derivada parcial con respecto a $h$ y comparar el coeficiente constante para obtener $p_k(x) = f^{(k)}(x)/k!$ . Pero esto funciona igual de bien sobre cualquier característica $0$ campo si se interpreta "derivada parcial" en el sentido algebraico y no analítico.