Una clase contiene 12 alumnos en 6 parejas de gemelos. De cuántas maneras podemos elegir 3 grupos de 4 alumnos, sin que ninguno de ellos contenga una pareja de gemelos?
He resuelto este problema para 2 grupos de 6 fácilmente con el principio de la multiplicación. Cada grupo debe contener una persona de cada pareja, por lo que obtenemos $2^6$ diferentes grupos.
¿Alguna pista sobre cómo resolverlo para 3 grupos de 4?
Cada grupo debe compartir dos pares con el otro grupo. Para el primer grupo podemos seleccionar los cuatro pares en ${6\choose 4}=15$ formas y seleccionar a los individuos en $2^4=16$ formas. Luego, para el segundo grupo, elegimos dos de los cuatro del primer grupo para obtener los mates de, ${4 \choose 2}=6$ formas y elegir cuál de los otros dos pares escoger $2^2=4$ maneras. Pero podríamos haber formado los grupos en cualquiera de $3!=6$ órdenes y consiguió los mismos grupos. De esta forma, se obtiene un conjunto de $\frac {15 \cdot 16 \cdot 6 \cdot 4}{6}=960$ formas.
¿Hay una manera fácil de ver que cada grupo debe compartir dos pares con cada uno de los otros grupos? (Ciertamente lo creo, pero no estaba seguro de cómo mostrarlo).
@user84413: Si dos grupos cualesquiera comparten más de dos pares, no pueden tomar al menos uno de cada par y el tercer grupo se quedará con dos del mismo par. Pero cada par debe ser compartido entre dos grupos, por lo que dos grupos cualesquiera deben compartir exactamente dos pares.
De otra manera:
Si pretendemos dividirnos en dos grupos,
los dos últimos de la primera y los dos primeros de la segunda (puestos entre paréntesis) deben ser diferentes, por ejemplo
$ABCD(EF)(BD)\bullet\bullet\bullet\bullet\;$ y elegido en $\binom62\binom42 = 90$ formas
Pero en realidad estamos formando tres grupos,
y tomando los grupos como no etiquetados y los gemelos como no idénticos, $$\text{we get}\;\; \frac {90\cdot2^6}{3!} = 960\;\;\text{ways}$$
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¿Está seguro de que su respuesta a la división del $12$ personas en $2$ grupos es correcto? Pruebe el caso con $2$ parejas de gemelos - es decir $4$ personas en general. ¿Hay $2^2$ formas de dividir el $2$ pares de gemelos en $2$ grupos (como sugiere su método de "multiplicación")?
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¡Tienes razón! Supongo que olvidé dividir por 2 al final, así que la solución correcta era $2^5$ y para n pares $2^n$ ¿correcto?
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@ManoPlizzi: así es. Es el equivalente a la división por $6$ en mi respuesta.