"No hay ningún número racional cuyo cuadrado sea $\displaystyle \frac{m}{n}$ , donde $\displaystyle \frac{m}{n}$ es una fracción positiva en términos mínimos, a menos que $m$ y $n$ son cuadrados perfectos. Pues supongamos, si es posible, que $\displaystyle \frac{p^2}{q^2} = \displaystyle \frac{m}{n}$ , $p$ que no tiene ningún factor en común con $q$ y $m$ ningún factor en común con n. Entonces $np^2 = mq^2$ . Cada factor de $q^2$ debe dividir $np^2$ y, como $p$ y $q$ no tienen ningún factor común, cada factor de $q$ debe dividir $n$ . Por lo tanto, $n=rq^2$ donde $r$ es un número entero. Pero esto implica $m = rp^2$ y como $m$ y $n$ no tienen ningún factor común, $r$ debe ser la unidad. Así, $m = p^2$ , $n = q^2$ como se iba a demostrar. En particular, se deduce tomando $m = 2$ , $n = l$ que $2$ no puede ser el cuadrado de un número racional".
Una parte de esta prueba me parece impar:
"Por lo tanto $n=rq^2$ donde $r$ es un número entero. Pero esto implica $m = rp^2$ y como $m$ y $n$ no tienen ningún factor común, $r$ debe ser la unidad".
El uso de $r$ como factor para ambos $n$ y $m$ requiere una presuposición de que $r$ es la unidad. Sin este conocimiento, el escritor tendría que asumir dos variables distintas, en lugar de sólo $r$ . La prueba parecía lógicamente continua antes de esta parte, así que estoy buscando segundas opiniones.
Estoy trabajando en este libro (G. H. Hardy's 'A Course of Pure Mathematics') sin guía o consulta (exceptuando a la buena gente de internet), y poco más que una educación rota, de nivel de escuela pública norteamericana. El modo muy "general" de explicación que utiliza Hardy aquí me está llevando a pasar mucho tiempo dudando de mí mismo.
