¿Están abiertos los siguientes subconjuntos con la topología métrica?

Question

Para cada una de las siguientes métricas espacios $(M_i , d_i)$ and subsets $V_i ⊂ M_i$ decide whether $V_i$ está abierto con respecto a la métrica de la topología

1) $M_1= \Bbb R^2,d_1((a,b),(x,y))=|a-x|+|b-y|,V_1=\{(x,y)\in\Bbb R^2|xy>1\}$

2)$M_2=\Bbb R^\Bbb N, d_2(a,b)=$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n} |a_n-b_n|}{1+|a_n-b_n|},V_2=\{a \in M_2| \{n \in N \mid a_n \neq 0\} \text{ finite}\}$

Aquí está mi intento (por la forma en que esta no es una tarea su pregunta de un examen, yo estoy usando para que me ayude a estudiar)

1)si $V$ es en abierto en $M \implies \exists B_e(a,b) \subset V $ lo que la elección de un arbitrario $(a,b) \in V$ elegimos (2,1), ya que esto satisface $ab>1$ ahora tenemos que ver si hay una pelota desde este punto a cualquier otro punto en $V$. yo.e $d((a,b),(x,y))<e$

$d((2,1),(x,y))=|2-x|+|1-y|$ , por lo que tenemos que ver es que hay un número finito de epsilon s.t. $d<e$ $x,y$ satisfacer $xy<1$

$|2-x|+|1-y|<e$ $\Rightarrow$$\sqrt{(2-x)^2}+\sqrt{(1-y)^2}<e \Rightarrow (2-x)^2+(1-y)^2<e^2=e$

$4-4a+a^2+1-b+b^2<e \Rightarrow a^2-4a-b+b^2<e \Rightarrow a^2(1-\tfrac{4}{a})+b^2(1-\tfrac{1}{b})<e$

y, a continuación, a medida que aumentaba la distancia entre estos dos puntos a la más lejana, aparte de que puede ser esto implica que $a^2+b^2<e$ y si suponemos que estos puntos están todavía en V esto implica que $a^2>\tfrac{1}{b^2}$$a^2+\tfrac{1}{a^2}<a^2+b^2<e \Rightarrow a^2<e \Rightarrow a<e$, por lo que hemos encontrado que epsilon es mayor que cualquier número real y lo que no hay abierto pelota y por lo tanto V no es abierto en M

2) deje $a_n=1 \forall n \in \Bbb N $ $d(a,b)=$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{-n} |1-b_n|}{1+|1-b_n|}$ la suma converge a .5 $\Rightarrow$ e>.5 así que existe una bola abierta de radio 5. y así el conjunto es abierto.

Es esta estrecha a la derecha o completamente equivocado ?, No espero ser totalmente correcta ya que no soy muy bueno en este tema pero por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

1)
Supongamos $X=\mathbb{R}^2$ $d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ y deje $V:=\{(x,y)\in X: xy>1\}$.
Deje $x=(x_1,x_2)\in V$. A continuación, $\exists\varepsilon>0$ tal que $x_1 x_2-1>\varepsilon$. A continuación, $y_1 y_2>1$ todos los $y=(y_1,y_2)\in X$$d(x,y)<\frac{\varepsilon}{|x_1|+|x_2|}$, desde entonces $$y_1 y_2\geq\left(|x_1|-\frac{\varepsilon}{|x_1|+|x_2|}\right)\left(|x_2|-\frac{\varepsilon}{|x_1|+|x_2|}\right)=|x_1x_2|-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{(|x_1|+|x_2|)^2}>1$$ A continuación, $V$ está abierto.
Su error fue que no lo mostrará arbirary $\varepsilon>0$. Es que no son suficientes para encontrar una $\varepsilon$ tal que $y_1y_2<1$$d(x,y)<\varepsilon$!
Una contradicción que tiene que demostrar que esta para todos los $\varepsilon>0$!
Yo podría publicar algo acerca de 2) más tarde, pero tengo un poco de prisa ahora.

editar de nuevo: Para 2): simplemente no se puede considerar $1$ secuencia para mostrar que $V$ es abierta, especialmente desde $a\notin V$.
Deje $X=\mathbb{R}^\mathbb{N}$$d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{-n}|x_n-y_n|}{1+|x_n-y_n|}$$V:=\{x\in X: \#\{x_n\neq 0\}<\infty\}$.
Deje $x\in V$ $I:=\{i\in\mathbb{N}:x_n\neq 0\}$ y supongamos $V$ está abierto. A continuación, $\exists\varepsilon>0$ tal que $B_\varepsilon(x)\subseteq V$ (la bola con el radio de $\varepsilon$ w.r.t. $d$).
Así que vamos a $y\in B_\varepsilon(x)$. A continuación, $\exists\delta>0$ tal que $\varepsilon-d(x,y)>\delta$.
A continuación, podemos encontrar $N\in\mathbb{N}$ tal que $\sum_{n=N}^\infty 2^{-n}<\delta$. A continuación, la secuencia $(z_n)$ $z_n=y_n$ $n<N$ $z_n=1$ si $n\geq N$$y_n=0$. Por lo tanto, $V$ no está abierto.

Espero que esto ayude.