¿De qué manera la paradoja de Schwartz de la superficie de área modela el efecto de objetos 3D?

Question

Pregunta

Me acabo de dar cuenta de Schwartz paradoja de área de superficie (abajo la explicación de lo desconocido). Cómo afecta la elaboración de modelos matemáticos de la vida real de las superficies? Por ejemplo, supongamos que yo quería para medir el área de la superficie de una montaña y tenía los datos de elevación. He encontrado enfoques que producen una aproximación poliédrica (aquí), pero, ¿cómo sabemos que esta aproximación poliédrica realidad es acercarse a la superficie de la zona de la montaña? Gracias!

PS tal vez esta es una mejor física pregunta? También, Mandlebrot el primer fractal de papel viene a la mente como un problema similar.

Schwartz Paradoja Explicación

Si entiendo correctamente, Schwartz Paradoja muestra que simplemente porque una aproximación poliédrica, $P_n$, de una superficie curvada $S$ enfoques de la superficie curva como $n \to \infty$, el área de la superficie de la aproximación poliédrica, $A(P_n)$, no el enfoque de la geometría intuitiva área de la superficie de la superficie, $A(S)$. En resumen,

$$\lim_{n\to\infty} P_n = S \not\Rightarrow \lim_{n\to\infty} A(P_n) = A(S) $$

Supuse desde el siguiente papel.

Answer 1

En resumen, no.

Yo no tengo la general de la prueba, pero vamos a echar un vistazo a la original de la paradoja. Para un cilindro, el área está dada por:

$$A(n,m) = 2nr\sin (\pi/n)\sqrt{h^2+r^2m^2(1-\cos^2 (\pi/n))^2}$$

Ahora, es cierto que si dejas $m$ ir al infinito, independientemente de $n$, usted va a terminar con esas tonterías. Pero en todas las situaciones de la vida real, usted sólo tiene muestreo finito, y por lo tanto, la relación de $c=m/n$ está ligado por una constante. Usted puede, a continuación, mostrar que si $m=cn$, el límite es de hecho $2\pi hr$ independientemente de $c$.