Este es un problema interesante, pero parece que requiere un montón de trabajo (al menos para mí). Puedo mostrarle cómo
uno puede resolver la ecuación para encontrar la distribución de probabilidad
$P(x)$ "de forma explícita" (al menos hasta posiblemente repetido las integrales de funciones explícitas). Permítanme reemplazar la variable independiente $A$ por
$x$, es decir,$x=A$.
$$x^3(1-2x)P^{(4)}(x) + x^2P^{(3)}(x) - 4x^2P^{''}(x) + 8xP^{'}(x) - 8P(x) - 96(2x-1) = 0$$
que es el mismo que
$$(x^3 - 2x^4)P^{(4)}(x) + x^2P^{(3)}(x) - 4x^2P^{''}(x) + 8xP^{'}(x) - 8P(x) = 192x - 96.$$
En primer lugar, diferenciar la ecuación con
respecto a $x$ una vez y obtener
\begin{align*}
&(x^3-2x^4)P^{(5)}(x) + (3x^2-8x^3)P^{(4)}(x) \\
& + x^2P^{(4)}(x) + 2xP^{(3)}(x) \\
& - 4x^2P^{(3)}(x) - 8xP^{''}(x) \\
& + 8x P^{''}(x) + 8P^{'}(x) \\
& - 8P^{'}(x) = 192.
\end{align*}
y después de cancelar la repetición de términos con signos opuestos
obtenemos la ecuación
$$(x^3-2x^4)P^{(5)}(x) + (3x^2-8x^3)P^{(4)}(x)
+ x^2^{(4)}(x) + 2xP^{(3)}(x)- 4x^2^{(3)}(x) = 192.$$ La agrupación
junto a los términos con la misma derivados de las vueltas de la ecuación
en
$$(x^3-2x^4)P^{(5)}(x) + (4x^2-8x^3)P^{(4)}(x)
+ (2x - 4x^2)P^{(3)}(x) = 192$$, que es el mismo que
$$x^3(1-2x)P^{(5)}(x) + 4x^2(1 - 2x)P^{(4)}(x)
+ 2x(1 - 2x)P^{(3)}(x) = 192.$$ Divide ambos lados de la ecuación
por $(1-2x)$ y obtener
$$x^3 P^{(5)}(x) + 4 x^2 P^{(4)}(x)
+ 2 x P^{(3)}(x) = \frac{192}{1-2x}.$$ Let us set $f(x) =
P^{"}(x)$. La última ecuación diferencial se convierte en
$$x^3 f^{"'}(x) + 4 x^2 f^{"}(x)
+ 2 x f^{'}(x) = \frac{192}{1-2x}.$$ A continuación, realice un cambio de la
variable independiente $x=e^u$ $u = \log{x}$ $x>0$ o
$x=-e^u$ $u = \log{(- x)}$ $x<0$ . Trabajamos con las $x>0$
caso, el caso de $x<0$ es análogo.
Set $g(u) = f(e^u)$. Diferenciar tres veces en el último
la sustitución con respecto a $u$ para obtener:
\begin{align*}
g{'}(u) &= f^{'}(e^u) e^u;\\
g{''}(u) &= f^{''}(e^u) e^{2u} + f^{'}(e^u) e^u; \\
g{'''}(u) &= f^{'''}(e^u) e^{3u} + 2 f^{''}(e^u) e^{2u} +
f^{''}(e^u) e^{2u} + f^{'}(e^u) e^{u};\\
&= f^{'''}(e^u) e^{3u} + 3 f^{''}(e^u) e^{2u} + f^{'}(e^u)
e^{u}.
\end{align*}
Recordar que $e^u = x$, obtenemos
\begin{align*}
g{'}(u) &= x f^{'}(x);\\
g{''}(u) &= x^2 f^{''}(x) + x f^{'}(x); \\
g{'''}(u) &= x ^3 f^{'''}(x) + 3 x^2 f^{''}(x) + x f^{'}(x).
\end{align*}
Reexpressing los derivados de la $f$ en términos de las derivadas de
$g$, obtenemos
\begin{align*}
x f^{'}(x) &= g'(u);\\
x^2 f^{''}(x) & = g{''}(u) - x f^{'}(x) \\
&= g{''}(u) - g^{'}(u);\\
x ^3 f^{'''}(x) &= g{'''}(u) - 3 x^2 f^{''}(x) - x f^{'}(x)\\
&= g{'''}(u) - 3 \big(g{''}(u) - g^{'}(u)\big) - g'(u) \\
&= g{'''}(u) - 3 g{''}(u) + 2 g^{'}(u).
\end{align*}
Conecte estos expresión en la última ecuación diferencial para $f$
para obtener la siguiente ecuación diferencial para $g$
\begin{align*}
& x^3 f^{'''}(x) + 4 x^2 f^{''}(x) + 2 x f^{'}(x) \\
&= g{'''}(u) - 3 g{''}(u) + 2 g^{'}(u) + 4\big(g{''}(u) - g^{'}(u)
\big)
+ 2 g'(u) \\
&= g{'''}(u) - 3 g{''}(u) + 2 g^{'}(u) + 4 g{''}(u) - 4 g^{'}(u) + 2 g'(u)\\
&= \frac{192}{1-2e^u}
\end{align*}
lo que se reduce a la siguiente ecuación diferencial
$$g{'''}(u) + g{''}(u) = \frac{192}{1-2e^u}$$
que se puede resolver de forma explícita. Simplemente sustituya $h(u) = g''(u)$
y obtener
$$h{'}(u) + h(u) = \frac{192}{1-2e^u}.$$
Su solución general es
\begin{align*}
h(u) = g''(u) & = e^{-u}\left(A + \int{\frac{192 e^u}{1-2e^u} du
}\right)\\
& = e^{-u}\left(A - \frac{192}{2} \int{\frac{ (-2) e^u}{1-2e^u} du }\right) \\
& = e^{-u}\left(A - 96 \log{(2e^u-1)}\right) \\
& = A e^{-u} - 96 \, e^{-u} \log{(2e^u-1)}.
\end{align*}
La integración de una vez más nos da
\begin{align*}
g'(u) & = B + A \int e^{-u} du - 96 \int e^{-u}
\log{(2e^u-1)} du\\
& = B - A e^{-u} - 96 \int e^{-u}
\log{(2e^u-1)} du
\end{align*}
Tenemos que resolver
$$\int e^{-u}
\log{(2e^u-1)} du.$$
\begin{align*}
\int e^{-u} \log{(2e^u-1)} du &= -\int \log{(2e^u-1)}
d(e^{-u})\\
&= - e^{-u} \log{(2e^u-1)} + \int e^{-u} d\big( \log{(2e^u-1)}
\big)\\
&= - e^{-u} \log{(2e^u-1)} + \int e^{-u} \frac{2e^u}{2e^u-1}
du\\ &= - e^{-u} \log{(2e^u-1)} + 2 \int \frac{1}{2e^u-1} du \\
&= - e^{-u} \log{(2e^u-1)} - 2 u + 2 \log(2e^u-1)\\
&= - e^{-u} \log{(2e^u-1)} + 2 \log(2-e^{-u})
\end{align*}
Así
$$g'(u)=B-Ae^{-u} + 96 \, e^{-u} \log{(2e^u-1)} - 192 \,\log(2-e^{-u}) $$
Desde $u = \log{x}$ $xf'(x) = g'(u)$ obtenemos
\begin{align*}
f'(x) &= \frac{1}{x} g'(\log{x}) = \frac{1}{x}\left( B-\frac{A}{x}
+ \frac{96}{x} \log{(2x-1)} - 192
\,\log\Big(2-\frac{1}{x}\Big)\right)\\
&= \frac{B}{x} -\frac{A}{x^2} + \frac{96}{x^2} \log{(2x-1)} -
\frac{192}{x} \,\log\left(2-\frac{1}{x}\right)
\end{align*}
Recordemos que $f(x) = P''(x)$, lo que significa que $f'(x) = P'''(x)$
\begin{align*}
P^{'''}(x) &= \frac{1}{x}\left( B-\frac{A}{x} + \frac{96}{x}
\log{(2x-1)} - 192
\,\log\Big(2-\frac{1}{x}\Big)\right)\\
&= \frac{B}{x} -\frac{A}{x^2} + \frac{96}{x^2} \log{(2x-1)} -
\frac{192}{x} \,\log\left(2-\frac{1}{x}\right)
\end{align*}
Ahora, uno puede integrar varias veces, la fórmula para $P^{'''}(x)$ tres veces para obtener una expresión general para $P(x)$ dependiendo de cinco independiente de los parámetros constantes $A, B, C, D, E, F$ que necesita ser determinado por primera conectar la expresión de $P(x)$ en el original de la ecuación diferencial, y el segundo, teniendo en cuenta los requisitos que $\int_{-\infty}^{\infty} P^{'}(x) dx = 1$$0 \leq P(x) \leq 1$.
