¿Cómo se transfiere la energía de rotación a la energía lineal?

Question

Así que hace poco me puse a buscar en momentos de inercia, y todas esas cosas. He llegado a una pregunta que tiene un plano inclinado en ángulo theta y una esfera en el pico. El G. P. E en la parte superior es de mgh. El avión es sin fricción.A continuación, el libro de los estados por la conservación de la energía $mgh = 1/2(mv^2) + \text{rotational KE from the sphere}$.

En primer lugar no entiendo cómo, si la pelota es un principio de rotación cómo se gana la energía de rotación de la parte superior del plano a la parte inferior, ya que no hay fricción para proporcionar el par. (O cómo se suelta desde el reposo como empieza a girar) de forma Similar es el caso de que la masa es siempre tratada como si todo se concentra en el centro de la masa, porque intuitivamente se podría pensar que el individuo de la masa de las partículas que componen la esfera podría haber proporcionado algunos de par?

Lo siento si esto es un poco de una pregunta básica pero sólo he iniciado el tema.

Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

En primer lugar no entiendo cómo, si la pelota es un principio de rotación cómo se gana la energía de rotación de la parte superior del plano a la parte inferior, ya que no hay fricción para proporcionar el par.

Su comprensión es principalmente correcta. Podemos elegir cualquier punto del objeto a medir la rotación alrededor; vamos a elegir el centro de la bola. Tanto la fuerza de la gravedad y la fuerza normal punto a través de este centro y no puede girar la pelota.

Sin embargo, "sin fricción" podría también significar "que rueda sin resbalar y no es despreciable la fricción de rodadura." En ese caso, no es estático de fricción de la prestación de torque, es simplemente no hacer el trabajo en la pelota. Si este es el caso, la explicación implicará el momento de inercia de la $I$ : $$m~g~h = \frac 12 ~m ~v^2 + \frac 12 ~I~ \omega^2$$ and the fact that $\omega = \pm v/R$ will then be substituted to get $$2~g~h = \left(1 + \frac I{m ~R^2}\right) ~ v^2$$ For a hollow sphere this ratio $I/mR^2$ is $2/3$; for a solid, uniform ball it is $2/5$ desde más de que está más cerca del centro y por lo tanto más fácil de girar.

Similar es el caso de que la masa es siempre tratada como si todo se concentra en el centro de la masa, porque intuitivamente se podría pensar que el individuo de la masa de las partículas que componen la esfera podría haber proporcionado algunos de par?

Para cualquier cuerpo rígido que nos puede separar de la dinámica en dos partes. La primera parte es la dinámica del centro de masa, la cual puede ser tratada como tener una masa igual a la masa total del cuerpo rígido y como las fuerzas igual a la suma de todas las fuerzas externas sobre el cuerpo rígido (internos tienden a cancelar debido a la tercera ley de Newton, por lo que puede incluir también a ellos si tienes cuidado de incluir siempre en pares). Si la fuerza neta sobre la partícula $i$ es la ley de Newton, $$m_i \frac{d\vec v_i}{dt} = \vec F_{i},$$ then we can find the center of mass with the formula $\vec R = \sum_i \frac{m_i}{M} ~ \vec r_i$ where $M = \sum_i m_i.$ This in turn moves with a velocity $\vec V = \sum_i \frac{m_i}{M} ~ \vec v_i$, so then $M ~ \frac{d\vec V}{dt} = \sum_i \vec F_i$. If you're paying very close attention you can even see that there's no absolute meaning to $M$, except that it keeps the center of mass $\vec R$ somewhere which is an "average" of all the positions of the little masses, which is nice (but not essential) for understanding the meaning of $\vec V$.

La segunda parte es la rotación del cuerpo sobre el centro de masa. Esto es un poco más complicado. Afortunadamente tenemos un buen teorema acerca de la rotación del grupo SO(3): cada rotación es de alrededor de algún eje, también en el espacio 3D, que deja inmóvil. Por lo tanto, podemos identificar en rotación de un vector $\vec \omega$, con cada una de las partículas que participan en la rotación de tener la posición $\vec r_i$ y la velocidad de $\vec v_i = \vec \omega \times \vec r_i$, lo que se llama el "producto cruz" de los dos vectores. Podemos suma de todos los detalles de un "momento angular" sobre un punto fijo $\vec r_0$, $\vec L = \sum_i m_i~(\vec r_i - \vec r_0)~\times~\vec v_i$. Desde $\vec v_i \times \vec v_i = 0$ la suma de Newton rotacional de las leyes puede ser escrito, $$\frac {d\vec L}{dt} = M \vec V \times \frac{d\vec r_0}{dt} + \sum_i m_i ~(\vec r_i - \vec r_0) \times \frac{d\vec v_i}{dt}$$ So when $\vec r_0 = \vec R$ and we get a $\vec V \times \vec V = 0$ term, this is simply $$\frac{d\vec L}{dt} = = \sum_i (\vec r_i - \vec R) \times \vec F_i = \sum_i \vec \tau_i.$$ So, we sum together these "torques" about the center of mass and they tell us how this "angular momentum" of the object changes. Then it turns out that the angular momentum always exists in a fixed relationship to $\vec \omega$ given by the "moment of inertia tensor" $\mathbf I$ as $\vec L = \mathbf I \cdot \vec \omega$, por lo que cualquier cambio en el momento angular crea el correspondiente cambio en la velocidad angular del vector.