Cómo evaluar $\lim\limits_{p \rightarrow \infty} \left(\sum_\limits{i=1}^n \left|x_i-y_i\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

Question

Me gustaría saber por qué $\lim\limits_{p \rightarrow \infty} \left(\sum_\limits{i=1}^n \left|x_i-y_i\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} = \max\limits_{1\le i \le n} \left| x_i-y_i\right|$ para $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$ .

Así que empecé comprobando una expresión más sencilla:

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty} ((6-3)^x+(5-1)^x)^{\frac{1}{x}}=4$

No sé cómo conseguir 4. La expresión dentro del paréntesis es indeterminada $(\infty + \infty)$ y no conozco ninguna forma de reescribirlo para poder eliminar los exponentes.

Answer 1

$$ \lim_{x\to \infty} ((6-3)^x+(5-1)^x)^{1/x}=\lim_{x\to \infty} (3^x+4^x)^{1/x}=\lim_{x\to \infty}4\Bigl(\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^x+1\Bigr)^{1/x}=4. $$ Para el caso general $a_i=|x_i-y_i|$ y supongamos sin pérdida de generalidad que $\max a_i=a_1>0$ . Entonces $$ \Bigl(\sum_{i=1}^na_i^p\Bigr)^{1/p}=a_1\Bigl(\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{a_i}{a_1}\Bigr)^p\Bigr)^{1/p}. $$ Desde $$ 1\le\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{a_i}{a_1}\Bigr)^p\le n, $$ $$ \lim_{p\to\infty}\Bigl(\sum_{i=1}^n\Bigl(\frac{a_i}{a_1}\Bigr)^p\Bigr)^{1/p}=1. $$