Gránulo de funciones meromórficas en un esquema integral

Question

Es un teorema que la gavilla de funciones meromorfas sobre un esquema integral es igual a la gavilla constante donde a cada conjunto abierto se le asigna el campo de funciones del esquema. Véase, por ejemplo, el proyecto Stacks. Me gustaría saber por qué esto es cierto.

Recordemos que el haz de funciones meromorfas es la sheafificación del presheaf que asigna a cada conjunto abierto $U$ el conjunto $\mathcal R_X(U)^{-1}\mathcal O_X(U)$ , donde $\mathcal R(U)$ es el conjunto de secciones regulares. En el caso de un esquema integral, $\mathcal R(U)$ es simplemente todas las secciones no nulas.

Answer 1

Dejemos que $\mathcal{F}$ sea la presheaf $U\mapsto K(\mathcal{O}_X(U))$ , donde $K(A)$ es el campo cociente de un dominio integral $A$ . Entonces $\mathcal{K}$ la gavilla de anillos cocientes totales de $\mathcal{O}$ (es decir, la gavilla de funciones meromórficas sobre $X$ ), es por definición la sheafificación de $\mathcal{F}$ . Dejemos que $K$ sea la gavilla constante $\mathcal{O}_\xi$ en $X$ , $\xi$ es el punto genérico de $X$ .

En realidad, existe un morfismo natural de presheaves $\rho:\mathcal{F}\rightarrow K$ definidos a continuación:

Para cualquier $f=g/h\in K(\mathcal{O}_X(U))$ , $f_\xi=g_\xi/h_\xi\in K(\mathcal{O}_\xi)=\mathcal{O}_\xi$ . Definir $\rho_U(f)=f_\xi$ entonces $\rho$ es la restricción de las funciones racionales a sus gérmenes en $\xi$ Así que $\rho$ es automáticamente un morfismo de preseaves. Por la propiedad universal de la sheafificación, existe un morfismo de sheaves $\bar\rho: \mathcal{K}\rightarrow K$ inducido por $\rho$ .

Reclamación : $\bar\rho$ es un isomorfismo de gavillas.

Prueba : Para cualquier subconjunto abierto afín $U=\operatorname{Spec}A\subset X$ , $\mathcal{F}(U)=K(\mathcal{ O}_X(U))=K(A)\cong \mathcal{O}_\xi$ Así que $\rho_U:\mathcal{F}(U)\rightarrow K(U)=\mathcal{O}_\xi$ es un isomorfismo. Como los subconjuntos abiertos afines forman una base topológica de la topología de Zariski de $X$ , $\rho_x: \mathcal{F}_x\rightarrow K_x$ es un isomorfismo para cualquier $x\in X$ .

Desde $\mathcal{K}_x$ es isomorfo a $\mathcal{F}_x$ a través del morfismo natural de los presheaves $\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{K}$ , $\bar\rho_x:\mathcal{K}_x\rightarrow K_x$ es un isomorfismo para cualquier $x\in X$ Por lo tanto $\bar\rho$ es un isomorfismo de gavillas. QED