Demuestre que si$\forall_{x\in\Bbb{R}} f(x)=f(x+1)$ y$f$ es continuo, entonces hay infinitos muchos$c$, de manera que$f(c+\pi)=f(c)$

Question

Tenemos 3 suposiciones acerca de $f$:

• $f: \Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$
• $f$ es continua
• $\forall_{x\in\Bbb{R}} f(x)=f(x+1)$

El problema nos pide para probar 2 cosas: Que $f$ alcanza su supremum y infimum y también existen infinidad de $c\in\Bbb{R}$ tal que $f(\pi+c)=f(c)$.

Así que la primera cosa que puede ser probado (creo) el descubrimiento de que $f([0,1]) = f(\Bbb{R})$ (debido a que la función es periódica) para supremum y infinimum es en $f([0,1])$ y por el teorema del valor extremo puede ser alcanzado.

En cuanto al segundo problema, no veo por qué debería ser verdadero. Eso significaría que no existe $x\in\Bbb{R}$ tal que $f(\pi +x+1) = f(x+1) = f(x)$. No se que significa que la función debe tener 2 períodos - $1$$\pi$? Pero esto $\pi$ no tiene ningún sentido, a continuación,. Soy yo la comprensión de este correctamente?

Answer 1

Desde $g(x) := f(x+\pi)-f(x)$ es también periódica, sólo tenemos que demostrar, que $g$ tiene un cero.

Si no, podemos asumir que $g$ es estrictamente positivo por el teorema del valor intermedio. Esto nos da un aumento de la secuencia de $f(n\pi)$, que converge, ya que $f$ está acotada.

Pero la secuencia es igual a la secuencia de $f(n\pi-\lfloor n\pi \rfloor)$. Desde $n\pi-\lfloor n\pi \rfloor$ tiene todos los puntos en $[0,1]$ como la acumulación de puntos, por la continuidad de $f$ tenemos que $f(n\pi-\lfloor n\pi \rfloor)$ tiene todos los puntos de $f([0,1])$ como la acumulación de puntos. Pero $f(n\pi-\lfloor n\pi \rfloor)$ converge, por lo tanto admite un único punto de acumulación. Podemos deducir que $f([0,1])$ es un singleton, por lo tanto $f$ es constante y $g=0$. Contradicción!