Integración por partes para derivados débiles.

Question

Estoy tratando de demostrar que si$g$ es tal que$f(b) - f(a) = \int_a^b g(t) dt$ para cualquier$a<b \in \mathbb{R}$ entonces tenemos: (para$f, g \in L^2(\mathbb{R})$)

PS

Puedo ver que esto seguiría si pudiéramos tratar a$$\int_a^b f(t)g(t) = \frac{1}{2}(f(b)^2 - f(a)^2)$ como el derivado de$g$ y usar la integración por partes, pero no estoy muy seguro de cómo justificar esto.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

$$\int_a^b f(x) g(x) dx = \int_a^b \left [ f(a) + \int_a^x g(y) dy\right ] g(x)dx= f(a) \int_a^b g(x)dx + \int_a^b\int_a^x g(y)g(x) dy dx$ $ por el teorema de Fubini$$\int_a^b\int_a^x g(y)g(x) dy dx = \int_a^b g(y)\int_y^b g(x) dx dy =\int_a^b g(y)(f(b) - f(y)) dy$ $ por lo tanto$$\int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) \int_a^b g(x)dx + f(b) \int_a^b g(y)dy - \int_a^b f(y) g(y) dy$ $ y podemos reemplazar$y$ por$x$ porque es una variable ficticia$$2 \int_a^b f(x) g(x) dx = f(a) (f(b) - f(a)) + f(b) (f(b) - f(a))$ $% PS