Dejemos que $S^{1}$ haz de la mano sobre $S^{2}$ es homeomorfo (difeomorfo) a $S^{3}$ . ¿Es la clase Chern de la fibración 1, es decir, es la fibración de Hopf hasta el isomorfismo el único haz de fibras con espacio total $S^{3}$ ?
Respuesta
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studiosus
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Sí, esto es correcto. Primero se utiliza la secuencia exacta larga de grupos de homotopía de la fibración para demostrar que la base de una fibración $p: S^3\to B$ tiene que ser de conexión simple. Por lo tanto, $B=S^2$ . Ahora bien, dividir $B$ en dos discos $B_1, B_2$ reunión a lo largo de un círculo $C$ . El fibrado $p$ tiene que ser trivial sobre $B_1, B_2$ . Por lo tanto, esto nos da una representación de $S^3$ como una unión de dos toros sólidos $B_i\times S^1$ . Supongamos que el valor absoluto $n$ del número de Euler $e(p)$ de $p$ no es $1$ . Orientar la fibra del haz y el círculo $C$ . Los bucles orientados $b=x\times S^1$ (donde $x$ es un punto en $C$ ) y $a_i=\partial B_i\times y$ (donde $y$ es un punto en $S^1$ ) sirven como bases de $H_1(\partial B_i\times S^1; Z_n)$ . El mapa de encolado entre los límites de los toros sólidos envía (en el $Z_n$ -nivel de homología) $b$ a sí mismo y envía $a_1$ a $a_2 + n b=a_2$ (la primera igualdad se mantiene en el nivel de la homología entera, simplemente por la definición del número de Euler). Así, el mapa natural $$ H_1(T^2; Z_n)\to H_1(B_1\times S^1; Z_n)\oplus H_1(B_2\times S^1; Z_n) $$ tiene imagen isomorfa a $Z_n$ . Ahora, introduzca esta información en la secuencia Mayer-Vietoris para la homología con $Z_n$ -para concluir que $H_1(S^3, Z_n)\ne 0$ Lo cual es, por supuesto, una tontería. Por lo tanto, $e(p)=\pm 1$ De lo que se deduce que la fibración es única. (Cambiando el signo de $e(p)$ se consigue cambiando la orientación de las fibras).
